Theorem wunf 10836

Description: A weak universe is closed under functions with known domain and codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunop.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
wunf.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
wunf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
3		wunop.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 2, 3	wunmap 10835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐴) ∈ 𝑈)
5	1, 4	wunelss 10817	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ 𝑈)
6		wunf.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	2, 3	elmapd 8885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))
8	6, 7	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
9	5, 8	sseldd 3914	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ⟶wf 6551  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  WUnicwun 10809

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-map 8874  df-pm 8875  df-wun 10811

This theorem is used by:  wunndx  17399  wunnat  18160  catcoppccl  18318  catcfuccl  18319  catcxpccl  18407