Theorem wunf 10812

Description: A weak universe is closed under functions with known domain and codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunop.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
wunf.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
wunf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
3		wunop.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 2, 3	wunmap 10811	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐴) ∈ 𝑈)
5	1, 4	wunelss 10793	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ 𝑈)
6		wunf.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	2, 3	elmapd 8860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))
8	6, 7	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
9	5, 8	sseldd 3909	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  WUnicwun 10785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8849  df-pm 8850  df-wun 10787

This theorem is used by:  wunndx  17373  wunnat  18134  catcoppccl  18292  catcfuccl  18293  catcxpccl  18381