Theorem ringcbasbasALTV 47297

Description: An element of the base set of the base set of the category of rings (i.e. the base set of a ring) belongs to the considered weak universe. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcbasbasALTV.r	⊢ 𝐶 = (RingCatALTV‘𝑈)
ringcbasbasALTV.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbasbasALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
ringcbasbasALTV	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ringcbasbasALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcbasbasALTV.r	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RingCatALTV‘𝑈)
2		ringcbasbasALTV.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		ringcbasbasALTV.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
4	1, 2, 3	ringcbasALTV 47285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
5	4	eleq2d 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝐵 ↔ 𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
6		elin 3960	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ Ring))
7		baseid 17174	. . . . . . . . 9 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
8		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ WUni)
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝑈)
10	7, 8, 9	wunstr 17148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
11	10	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (𝑅 ∈ 𝑈 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
12	11, 3	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑈 → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
14	6, 13	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
15	14	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
16	5, 15	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝐵 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
17	16	imp 406	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3943  ‘cfv 6542  WUnicwun 10715  ndxcnx 17153  Basecbs 17171  Ringcrg 20164  RingCatALTVcringcALTV 47272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-wun 10717  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-hom 17248  df-cco 17249  df-ringcALTV 47273

This theorem is referenced by:  funcringcsetclem2ALTV  47299  funcringcsetclem3ALTV  47300  funcringcsetclem7ALTV  47304