Theorem ringcbasbasALTV 45504

Description: An element of the base set of the base set of the category of rings (i.e. the base set of a ring) belongs to the considered weak universe. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcbasbasALTV.r	⊢ 𝐶 = (RingCatALTV‘𝑈)
ringcbasbasALTV.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbasbasALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
ringcbasbasALTV	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ringcbasbasALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcbasbasALTV.r	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RingCatALTV‘𝑈)
2		ringcbasbasALTV.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		ringcbasbasALTV.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
4	1, 2, 3	ringcbasALTV 45492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
5	4	eleq2d 2824	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝐵 ↔ 𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
6		elin 3899	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ Ring))
7		baseid 16843	. . . . . . . . 9 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
8		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ WUni)
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝑈)
10	7, 8, 9	wunstr 16817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
11	10	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (𝑅 ∈ 𝑈 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
12	11, 3	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑈 → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
14	6, 13	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
15	14	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
16	5, 15	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝐵 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
17	16	imp 406	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882  ‘cfv 6418  WUnicwun 10387  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  Ringcrg 19698  RingCatALTVcringcALTV 45450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-wun 10389  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-hom 16912  df-cco 16913  df-ringcALTV 45452

This theorem is referenced by:  funcringcsetclem2ALTV  45506  funcringcsetclem3ALTV  45507  funcringcsetclem7ALTV  45511