Theorem ringcbasbas 20652

Description: An element of the base set of the base set of the category of unital rings (i.e. the base set of a ring) belongs to the considered weak universe. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcbasbas.r	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcbasbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbasbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
ringcbasbas	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ringcbasbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcbasbas.r	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		ringcbasbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		ringcbasbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
4	1, 2, 3	ringcbas 20629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
5	4	eleq2d 2826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝐵 ↔ 𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
6		elin 3906	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ Ring))
7		baseid 17180	. . . . . . . . 9 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
8		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ WUni)
9		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝑈)
10	7, 8, 9	wunstr 17156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
11	10	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (𝑅 ∈ 𝑈 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
12	11, 3	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑈 → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
14	6, 13	sylbi 218	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
15	14	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
16	5, 15	sylbid 241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝐵 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
17	16	imp 407	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3889  ‘cfv 6492  WUnicwun 10621  ndxcnx 17161  Basecbs 17177  Ringcrg 20212  RingCatcringc 20624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-wun 10623  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-resc 17776  df-estrc 18087  df-mhm 18749  df-ghm 19186  df-mgp 20120  df-ur 20161  df-ring 20214  df-rhm 20450  df-ringc 20625

This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2lem2  48789  funcringcsetcALTV2lem3  48790  funcringcsetcALTV2lem7  48794