Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringcbasbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcbasbas 44306
Description: An element of the base set of the base set of the category of unital rings (i.e. the base set of a ring) belongs to the considered weak universe. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcbasbas.r 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcbasbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbasbas.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
Assertion
Ref Expression
ringcbasbas ((𝜑𝑅𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ringcbasbas
StepHypRef Expression
1 ringcbasbas.r . . . . 5 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2 ringcbasbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 ringcbasbas.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
41, 2, 3ringcbas 44283 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
54eleq2d 2898 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝐵𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
6 elin 4168 . . . . 5 (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑅𝑈𝑅 ∈ Ring))
7 df-base 16488 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
8 simpl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅𝑈) → 𝑈 ∈ WUni)
9 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅𝑈) → 𝑅𝑈)
107, 8, 9wunstr 16506 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅𝑈) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
1110ex 415 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ WUni → (𝑅𝑈 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
1211, 3syl11 33 . . . . . 6 (𝑅𝑈 → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
1312adantr 483 . . . . 5 ((𝑅𝑈𝑅 ∈ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
146, 13sylbi 219 . . . 4 (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
1514com12 32 . . 3 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
165, 15sylbid 242 . 2 (𝜑 → (𝑅𝐵 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
1716imp 409 1 ((𝜑𝑅𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  cin 3934  cfv 6354  WUnicwun 10121  1c1 10537  Basecbs 16482  Ringcrg 19296  RingCatcringc 44275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-wun 10123  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-resc 17080  df-estrc 17372  df-mhm 17955  df-ghm 18355  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-rnghom 19466  df-ringc 44277
This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2lem2  44309  funcringcsetcALTV2lem3  44310  funcringcsetcALTV2lem7  44314
  Copyright terms: Public domain W3C validator