Theorem ringcbasbas 45650

Description: An element of the base set of the base set of the category of unital rings (i.e. the base set of a ring) belongs to the considered weak universe. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcbasbas.r	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcbasbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbasbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
ringcbasbas	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ringcbasbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcbasbas.r	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		ringcbasbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		ringcbasbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
4	1, 2, 3	ringcbas 45627	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
5	4	eleq2d 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝐵 ↔ 𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
6		elin 3908	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ Ring))
7		baseid 16960	. . . . . . . . 9 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
8		simpl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ WUni)
9		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ 𝑈)
10	7, 8, 9	wunstr 16934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝑅 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)
11	10	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (𝑅 ∈ 𝑈 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
12	11, 3	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑈 → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
13	12	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
14	6, 13	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
15	14	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
16	5, 15	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝐵 → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈))
17	16	imp 408	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∩ cin 3891  ‘cfv 6458  WUnicwun 10502  ndxcnx 16939  Basecbs 16957  Ringcrg 19828  RingCatcringc 45619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-wun 10504  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-fz 13286  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-hom 17031  df-cco 17032  df-0g 17197  df-resc 17568  df-estrc 17884  df-mhm 18475  df-ghm 18877  df-mgp 19766  df-ur 19783  df-ring 19830  df-rnghom 20004  df-ringc 45621

This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2lem2  45653  funcringcsetcALTV2lem3  45654  funcringcsetcALTV2lem7  45658