Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xreqnltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xreqnltd 45345
Description: A consequence of trichotomy. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xreqnltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xreqnltd.2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
xreqnltd (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xreqnltd
StepHypRef Expression
1 xreqnltd.2 . . 3 (𝜑𝐴 = 𝐵)
2 xreqnltd.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
31, 2eqeltrrd 2840 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
4 xrlttri3 13182 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
61, 5mpbid 232 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
76simpld 494 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  *cxr 11292   < clt 11293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298
This theorem is referenced by:  limsuppnflem  45666
  Copyright terms: Public domain W3C validator