Theorem xreqnltd 40349

Description: A consequence of trichotomy. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xreqnltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xreqnltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xreqnltd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xreqnltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xreqnltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		xreqnltd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3	1, 2	eqeltrrd 2877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrlttri3 12219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
6	1, 5	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	6	simpld 489	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4841  ℝ^*cxr 10360   < clt 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366

This theorem is referenced by:  limsuppnflem  40674