MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlttri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlttri3 12286
Description: Trichotomy law for 'less than' for extended reals. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrlttri3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem xrlttri3
StepHypRef Expression
1 xrltso 12284 . 2 < Or ℝ*
2 sotrieq2 5303 . 2 (( < Or ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
31, 2mpan 680 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4886   Or wor 5273  *cxr 10410   < clt 10411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416
This theorem is referenced by:  xrleltne  12288  xrletri3  12297  iccid  12532  xrlttri5d  40405  xreqnltd  40524
  Copyright terms: Public domain W3C validator