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Theorem limsuppnflem 44071
Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuppnflem.j 𝑗𝐹
limsuppnflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsuppnflem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsuppnflem
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7 (𝜑𝜑)
2 imnan 400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
32ralbii 3092 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4 ralnex 3071 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
53, 4bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
65rexbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
7 rexnal 3099 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
86, 7bitri 274 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
98rexbii 3093 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
10 rexnal 3099 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
119, 10bitri 274 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1211biimpri 227 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
13 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑗) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴))
14 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1514imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑗) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
16153adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑗) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
17 limsuppnflem.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
1817ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
1918ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
21 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
22 rexr 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
2618ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
2722ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2826, 27xrltnled 43718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ((𝐹𝑗) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
2925, 28mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) < 𝑥)
3029adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) < 𝑥)
3120, 24, 30xrltled 13079 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3213, 16, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
33323exp 1119 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3433ralimdva 3160 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3534reximdva 3161 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3635reximdva 3161 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3736imp 407 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
381, 12, 37syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
39 reex 11151 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
41 limsuppnflem.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4240, 41ssexd 5286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ V)
4317, 42fexd 7182 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ V)
4443limsupcld 44051 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
4544ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
4622ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47 pnfxr 11218 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → +∞ ∈ ℝ*)
49 limsuppnflem.j . . . . . . . . . 10 𝑗𝐹
5041ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5117ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
52 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
5349, 50, 51, 46, 52limsupbnd1f 44047 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) ≤ 𝑥)
54 ltpnf 13050 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
5554ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝑥 < +∞)
5645, 46, 48, 53, 55xrlelttrd 13089 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
5756rexlimdva2 3150 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (lim sup‘𝐹) < +∞))
5857imp 407 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
5938, 58syldan 591 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
6059adantlr 713 . . . 4 (((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
61 id 22 . . . . . . . 8 ((lim sup‘𝐹) = +∞ → (lim sup‘𝐹) = +∞)
6247a1i 11 . . . . . . . 8 ((lim sup‘𝐹) = +∞ → +∞ ∈ ℝ*)
6361, 62eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((lim sup‘𝐹) = +∞ → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
6463, 61xreqnltd 43750 . . . . . 6 ((lim sup‘𝐹) = +∞ → ¬ (lim sup‘𝐹) < +∞)
6564adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) → ¬ (lim sup‘𝐹) < +∞)
6665adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ¬ (lim sup‘𝐹) < +∞)
6760, 66condan 816 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
6867ex 413 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
6941adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7017adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
71 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
7249, 69, 70, 71limsuppnfd 44063 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (lim sup‘𝐹) = +∞)
7372ex 413 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (lim sup‘𝐹) = +∞))
7468, 73impbid 211 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wnfc 2882  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3446  wss 3913   class class class wbr 5110  wf 6497  cfv 6501  cr 11059  +∞cpnf 11195  *cxr 11197   < clt 11198  cle 11199  lim supclsp 15364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-ico 13280  df-limsup 15365
This theorem is referenced by:  limsuppnf  44072
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