Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuppnflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuppnflem 44726
Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuppnflem.j Ⅎ𝑗𝐹
limsuppnflem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsuppnflem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
limsuppnflem (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐹,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsuppnflem
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ πœ‘)
2 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
32ralbii 3092 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4 ralnex 3071 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
53, 4bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
65rexbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
7 rexnal 3099 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
86, 7bitri 274 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
98rexbii 3093 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
10 rexnal 3099 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
119, 10bitri 274 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
1211biimpri 227 . . . . . . 7 (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
13 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴))
14 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
1514imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
16153adant1 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
17 limsuppnflem.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
1817ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
1918ad4ant14 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
21 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
22 rexr 11265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
2618ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
2722ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2826, 27xrltnled 44373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) < π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2925, 28mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯)
3029adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯)
3120, 24, 30xrltled 13134 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3213, 16, 31syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
33323exp 1118 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
3433ralimdva 3166 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
3534reximdva 3167 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
3635reximdva 3167 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
3736imp 406 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
381, 12, 37syl2an 595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
39 reex 11204 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
41 limsuppnflem.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4240, 41ssexd 5325 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
4317, 42fexd 7232 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
4443limsupcld 44706 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
4544ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
4622ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
47 pnfxr 11273 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
49 limsuppnflem.j . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗𝐹
5041ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5117ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
52 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
5349, 50, 51, 46, 52limsupbnd1f 44702 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ π‘₯)
54 ltpnf 13105 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < +∞)
5554ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ < +∞)
5645, 46, 48, 53, 55xrlelttrd 13144 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
5756rexlimdva2 3156 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (lim supβ€˜πΉ) < +∞))
5857imp 406 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
5938, 58syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
6059adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) = +∞) ∧ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
61 id 22 . . . . . . . 8 ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = +∞)
6247a1i 11 . . . . . . . 8 ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
6361, 62eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
6463, 61xreqnltd 44405 . . . . . 6 ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ β†’ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
6564adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) = +∞) β†’ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
6665adantr 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) = +∞) ∧ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
6760, 66condan 815 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) = +∞) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
6867ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
6941adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
7017adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
71 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
7249, 69, 70, 71limsuppnfd 44718 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = +∞)
7372ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = +∞))
7468, 73impbid 211 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β„²wnfc 2882  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„cr 11112  +∞cpnf 11250  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  lim supclsp 15419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-ico 13335  df-limsup 15420
This theorem is referenced by:  limsuppnf  44727
  Copyright terms: Public domain W3C validator