Theorem limsuppnflem 45666

Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuppnflem.j	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsuppnflem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnflem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsuppnflem	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsuppnflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		imnan 399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
3	2	ralbii 3091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
4		ralnex 3070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
5	3, 4	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
6	5	rexbii 3092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
7		rexnal 3098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
8	6, 7	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
9	8	rexbii 3092	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
10		rexnal 3098	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
11	9, 10	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
12	11	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
13		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴))
14		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
15	14	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
16	15	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
17		limsuppnflem.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
18	17	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
19	18	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
21		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
22		rexr 11305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
26	18	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
27	22	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
28	26, 27	xrltnled 45313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑗) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
29	25, 28	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) < 𝑥)
30	29	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) < 𝑥)
31	20, 24, 30	xrltled 13189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
32	13, 16, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
33	32	3exp 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
34	33	ralimdva 3165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
35	34	reximdva 3166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
36	35	reximdva 3166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)))
37	36	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
38	1, 12, 37	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
39		reex 11244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
41		limsuppnflem.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
42	40, 41	ssexd 5330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
43	17, 42	fexd 7247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
44	43	limsupcld 45646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
45	44	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
46	22	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47		pnfxr 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → +∞ ∈ ℝ*)
49		limsuppnflem.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
50	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
51	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
52		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
53	49, 50, 51, 46, 52	limsupbnd1f 45642	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) ≤ 𝑥)
54		ltpnf 13160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
55	54	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝑥 < +∞)
56	45, 46, 48, 53, 55	xrlelttrd 13199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
57	56	rexlimdva2 3155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (lim sup‘𝐹) < +∞))
58	57	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
59	38, 58	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
60	59	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
61		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((lim sup‘𝐹) = +∞ → (lim sup‘𝐹) = +∞)
62	47	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((lim sup‘𝐹) = +∞ → +∞ ∈ ℝ*)
63	61, 62	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((lim sup‘𝐹) = +∞ → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
64	63, 61	xreqnltd 45345	. . . . . 6 ⊢ ((lim sup‘𝐹) = +∞ → ¬ (lim sup‘𝐹) < +∞)
65	64	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) → ¬ (lim sup‘𝐹) < +∞)
66	65	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ¬ (lim sup‘𝐹) < +∞)
67	60, 66	condan 818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
68	67	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
69	41	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
70	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
71		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
72	49, 69, 70, 71	limsuppnfd 45658	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → (lim sup‘𝐹) = +∞)
73	72	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → (lim sup‘𝐹) = +∞))
74	68, 73	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2888  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  ℝcr 11152  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  lim supclsp 15503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-ico 13390  df-limsup 15504

This theorem is referenced by:  limsuppnf  45667