Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuppnflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuppnflem 44511
Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuppnflem.j Ⅎ𝑗𝐹
limsuppnflem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsuppnflem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
limsuppnflem (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐹,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsuppnflem
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ πœ‘)
2 imnan 400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
32ralbii 3093 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4 ralnex 3072 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
53, 4bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
65rexbii 3094 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
7 rexnal 3100 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
86, 7bitri 274 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
98rexbii 3094 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
10 rexnal 3100 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
119, 10bitri 274 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
1211biimpri 227 . . . . . . 7 (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
13 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴))
14 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
1514imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
16153adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
17 limsuppnflem.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
1817ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
1918ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
21 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
22 rexr 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
2618ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
2722ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2826, 27xrltnled 44158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) < π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2925, 28mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯)
3029adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) < π‘₯)
3120, 24, 30xrltled 13131 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3213, 16, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
33323exp 1119 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
3433ralimdva 3167 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
3534reximdva 3168 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
3635reximdva 3168 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
3736imp 407 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
381, 12, 37syl2an 596 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
39 reex 11203 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
41 limsuppnflem.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4240, 41ssexd 5324 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
4317, 42fexd 7231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
4443limsupcld 44491 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
4544ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
4622ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
47 pnfxr 11270 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
49 limsuppnflem.j . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗𝐹
5041ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5117ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
52 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
5349, 50, 51, 46, 52limsupbnd1f 44487 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ π‘₯)
54 ltpnf 13102 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < +∞)
5554ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ < +∞)
5645, 46, 48, 53, 55xrlelttrd 13141 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
5756rexlimdva2 3157 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (lim supβ€˜πΉ) < +∞))
5857imp 407 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
5938, 58syldan 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
6059adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) = +∞) ∧ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
61 id 22 . . . . . . . 8 ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = +∞)
6247a1i 11 . . . . . . . 8 ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
6361, 62eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
6463, 61xreqnltd 44190 . . . . . 6 ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ β†’ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
6564adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) = +∞) β†’ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
6665adantr 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) = +∞) ∧ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ Β¬ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
6760, 66condan 816 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) = +∞) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
6867ex 413 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
6941adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
7017adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
71 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
7249, 69, 70, 71limsuppnfd 44503 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = +∞)
7372ex 413 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = +∞))
7468, 73impbid 211 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = +∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„cr 11111  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  lim supclsp 15416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-ico 13332  df-limsup 15417
This theorem is referenced by:  limsuppnf  44512
  Copyright terms: Public domain W3C validator