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Theorem limsuppnflem 40512
Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuppnflem.j 𝑗𝐹
limsuppnflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsuppnflem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsuppnflem
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7 (𝜑𝜑)
2 imnan 388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
32ralbii 3127 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4 ralnex 3139 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
53, 4bitri 266 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
65rexbii 3188 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
7 rexnal 3141 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
86, 7bitri 266 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
98rexbii 3188 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
10 rexnal 3141 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
119, 10bitri 266 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1211biimpri 219 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
13 simp1 1166 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑗) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴))
14 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1514imp 395 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑗) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
16153adant1 1160 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑗) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
17 limsuppnflem.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
1817ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
1918ad4ant14 759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
21 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
22 rexr 10339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
25 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
2618ad4ant13 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
2722ad3antlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2826, 27xrltnled 40149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ((𝐹𝑗) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
2925, 28mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) < 𝑥)
3029adantllr 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) < 𝑥)
3120, 24, 30xrltled 12183 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3213, 16, 31syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
33323exp 1148 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3433ralimdva 3109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3534reximdva 3163 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3635reximdva 3163 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3736imp 395 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
381, 12, 37syl2an 589 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
39 reex 10280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℝ ∈ V)
41 limsuppnflem.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4240, 41ssexd 4966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ V)
4317, 42fexd 39878 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ V)
4443limsupcld 40492 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
4544ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
4622ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47 pnfxr 10346 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → +∞ ∈ ℝ*)
49 limsuppnflem.j . . . . . . . . . . 11 𝑗𝐹
5041ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5117ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
52 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
5349, 50, 51, 46, 52limsupbnd1f 40488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) ≤ 𝑥)
54 ltpnf 12154 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
5554ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → 𝑥 < +∞)
5645, 46, 48, 53, 55xrlelttrd 12193 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
5756ex 401 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (lim sup‘𝐹) < +∞))
5857rexlimdva 3178 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (lim sup‘𝐹) < +∞))
5958imp 395 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
6038, 59syldan 585 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
6160adantlr 706 . . . 4 (((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
62 id 22 . . . . . . . 8 ((lim sup‘𝐹) = +∞ → (lim sup‘𝐹) = +∞)
6347a1i 11 . . . . . . . 8 ((lim sup‘𝐹) = +∞ → +∞ ∈ ℝ*)
6462, 63eqeltrd 2844 . . . . . . 7 ((lim sup‘𝐹) = +∞ → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
6564, 62xreqnltd 40187 . . . . . 6 ((lim sup‘𝐹) = +∞ → ¬ (lim sup‘𝐹) < +∞)
6665adantl 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) → ¬ (lim sup‘𝐹) < +∞)
6766adantr 472 . . . 4 (((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ¬ (lim sup‘𝐹) < +∞)
6861, 67condan 852 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
6968ex 401 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
7041adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7117adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
72 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
7349, 70, 71, 72limsuppnfd 40504 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (lim sup‘𝐹) = +∞)
7473ex 401 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (lim sup‘𝐹) = +∞))
7569, 74impbid 203 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wnfc 2894  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3732   class class class wbr 4809  wf 6064  cfv 6068  cr 10188  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  lim supclsp 14488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-ico 12383  df-limsup 14489
This theorem is referenced by:  limsuppnf  40513
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