Theorem ltdiv23neg 44681

Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdiv23neg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
ltdiv23neg.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
ltdiv23neg	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Proof of Theorem ltdiv23neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv23neg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltdiv23neg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltdiv23neg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	2, 3	ltned 11354	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	1, 2, 4	redivcld 12046	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6		ltdiv23neg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	5, 6, 2, 3	ltmulneg 44679	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)))
8		recn 11202	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		recn 11202	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	9, 11, 4	divcan1d 11995	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
13	12	breq2d 5153	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) < 𝐴))
14		remulcl 11197	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	6, 2, 14	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
16		ltdiv23neg.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
17	6, 16	ltned 11354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
18	6, 17	rereccld 12045	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
19	6, 16	reclt0d 44674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) < 0)
20	15, 1, 18, 19	ltmulneg 44679	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶))))
21		recn 11202	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
22	6, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
23	9, 22, 17	divrecd 11997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
24	23	eqcomd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐶)) = (𝐴 / 𝐶))
25	22, 11	mulcld 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
26	25, 22, 17	divrecd 11997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)))
27		divcan3 11902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
28	27	3expb 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
29	11, 22, 17, 28	syl12anc 834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
30	26, 29	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = 𝐵)
31	24, 30	breq12d 5154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
32	20, 31	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
33	7, 13, 32	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   < clt 11252   / cdiv 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-rp 12981

This theorem is referenced by:  pimrecltneg  46017