Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltdiv23neg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv23neg 45045
Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ltdiv23neg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.3 (𝜑𝐵 < 0)
ltdiv23neg.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.5 (𝜑𝐶 < 0)
Assertion
Ref Expression
ltdiv23neg (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Proof of Theorem ltdiv23neg
StepHypRef Expression
1 ltdiv23neg.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltdiv23neg.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltdiv23neg.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 < 0)
42, 3ltned 11391 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
51, 2, 4redivcld 12087 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6 ltdiv23neg.4 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
75, 6, 2, 3ltmulneg 45043 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)))
8 recn 11239 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
10 recn 11239 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
112, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
129, 11, 4divcan1d 12036 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
1312breq2d 5157 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) < 𝐴))
14 remulcl 11234 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
156, 2, 14syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
16 ltdiv23neg.5 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 0)
176, 16ltned 11391 . . . . 5 (𝜑𝐶 ≠ 0)
186, 17rereccld 12086 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
196, 16reclt0d 45038 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐶) < 0)
2015, 1, 18, 19ltmulneg 45043 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶))))
21 recn 11239 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
226, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
239, 22, 17divrecd 12038 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
2423eqcomd 2732 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐶)) = (𝐴 / 𝐶))
2522, 11mulcld 11275 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
2625, 22, 17divrecd 12038 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)))
27 divcan3 11940 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
28273expb 1117 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
2911, 22, 17, 28syl12anc 835 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
3026, 29eqtr3d 2768 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = 𝐵)
3124, 30breq12d 5158 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
3220, 31bitrd 278 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
337, 13, 323bitrd 304 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5145  (class class class)co 7416  cc 11147  cr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   · cmul 11154   < clt 11289   / cdiv 11912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-rp 13023
This theorem is referenced by:  pimrecltneg  46381
  Copyright terms: Public domain W3C validator