Theorem ltdiv23neg 45388

Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdiv23neg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
ltdiv23neg.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
ltdiv23neg	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Proof of Theorem ltdiv23neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv23neg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltdiv23neg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltdiv23neg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	2, 3	ltned 11376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	1, 2, 4	redivcld 12074	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6		ltdiv23neg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	5, 6, 2, 3	ltmulneg 45386	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)))
8		recn 11224	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		recn 11224	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	9, 11, 4	divcan1d 12023	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
13	12	breq2d 5136	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) < 𝐴))
14		remulcl 11219	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	6, 2, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
16		ltdiv23neg.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
17	6, 16	ltned 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
18	6, 17	rereccld 12073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
19	6, 16	reclt0d 45381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) < 0)
20	15, 1, 18, 19	ltmulneg 45386	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶))))
21		recn 11224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
22	6, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
23	9, 22, 17	divrecd 12025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
24	23	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐶)) = (𝐴 / 𝐶))
25	22, 11	mulcld 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
26	25, 22, 17	divrecd 12025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)))
27		divcan3 11927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
28	27	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
29	11, 22, 17, 28	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
30	26, 29	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = 𝐵)
31	24, 30	breq12d 5137	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
32	20, 31	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
33	7, 13, 32	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   < clt 11274   / cdiv 11899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-rp 13014

This theorem is referenced by:  pimrecltneg  46720