Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltdiv23neg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv23neg 40537
Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ltdiv23neg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.3 (𝜑𝐵 < 0)
ltdiv23neg.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.5 (𝜑𝐶 < 0)
Assertion
Ref Expression
ltdiv23neg (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Proof of Theorem ltdiv23neg
StepHypRef Expression
1 ltdiv23neg.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltdiv23neg.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltdiv23neg.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 < 0)
42, 3ltned 10514 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
51, 2, 4redivcld 11206 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6 ltdiv23neg.4 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
75, 6, 2, 3ltmulneg 40535 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)))
8 recn 10364 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
10 recn 10364 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
112, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
129, 11, 4divcan1d 11155 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
1312breq2d 4900 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) < 𝐴))
14 remulcl 10359 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
156, 2, 14syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
16 ltdiv23neg.5 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 0)
176, 16ltned 10514 . . . . 5 (𝜑𝐶 ≠ 0)
186, 17rereccld 11205 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
196, 16reclt0d 40529 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐶) < 0)
2015, 1, 18, 19ltmulneg 40535 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶))))
21 recn 10364 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
226, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
239, 22, 17divrecd 11157 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
2423eqcomd 2784 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐶)) = (𝐴 / 𝐶))
2522, 11mulcld 10399 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
2625, 22, 17divrecd 11157 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)))
27 divcan3 11062 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
28273expb 1110 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
2911, 22, 17, 28syl12anc 827 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
3026, 29eqtr3d 2816 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = 𝐵)
3124, 30breq12d 4901 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
3220, 31bitrd 271 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
337, 13, 323bitrd 297 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   · cmul 10279   < clt 10413   / cdiv 11035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-rp 12143
This theorem is referenced by:  pimrecltneg  41874
  Copyright terms: Public domain W3C validator