Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltdiv23neg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv23neg 44839
Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ltdiv23neg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
ltdiv23neg.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
ltdiv23neg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < 0)
ltdiv23neg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
ltdiv23neg.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < 0)
Assertion
Ref Expression
ltdiv23neg (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))

Proof of Theorem ltdiv23neg
StepHypRef Expression
1 ltdiv23neg.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 ltdiv23neg.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 ltdiv23neg.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < 0)
42, 3ltned 11380 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
51, 2, 4redivcld 12072 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
6 ltdiv23neg.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
75, 6, 2, 3ltmulneg 44837 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ถ ยท ๐ต) < ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต)))
8 recn 11228 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
91, 8syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 recn 11228 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
112, 10syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
129, 11, 4divcan1d 12021 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
1312breq2d 5155 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) < ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) โ†” (๐ถ ยท ๐ต) < ๐ด))
14 remulcl 11223 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
156, 2, 14syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
16 ltdiv23neg.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < 0)
176, 16ltned 11380 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
186, 17rereccld 12071 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„)
196, 16reclt0d 44832 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ถ) < 0)
2015, 1, 18, 19ltmulneg 44837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) < ๐ด โ†” (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ))))
21 recn 11228 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
226, 21syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
239, 22, 17divrecd 12023 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ถ) = (๐ด ยท (1 / ๐ถ)))
2423eqcomd 2731 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ))
2522, 11mulcld 11264 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2625, 22, 17divrecd 12023 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)))
27 divcan3 11928 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
28273expb 1117 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
2911, 22, 17, 28syl12anc 835 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
3026, 29eqtr3d 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)) = ๐ต)
3124, 30breq12d 5156 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
3220, 31bitrd 278 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) < ๐ด โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
337, 13, 323bitrd 304 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   ยท cmul 11143   < clt 11278   / cdiv 11901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-rp 13007
This theorem is referenced by:  pimrecltneg  46175
  Copyright terms: Public domain W3C validator