![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > ltdiv23neg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltdiv23neg.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
ltdiv23neg.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
ltdiv23neg.3 | โข (๐ โ ๐ต < 0) |
ltdiv23neg.4 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
ltdiv23neg.5 | โข (๐ โ ๐ถ < 0) |
Ref | Expression |
---|---|
ltdiv23neg | โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltdiv23neg.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | ltdiv23neg.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | ltdiv23neg.3 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต < 0) | |
4 | 2, 3 | ltned 11380 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ 0) |
5 | 1, 2, 4 | redivcld 12072 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
6 | ltdiv23neg.4 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
7 | 5, 6, 2, 3 | ltmulneg 44837 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ (๐ถ ยท ๐ต) < ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต))) |
8 | recn 11228 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
9 | 1, 8 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
10 | recn 11228 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
11 | 2, 10 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
12 | 9, 11, 4 | divcan1d 12021 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด) |
13 | 12 | breq2d 5155 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) < ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) โ (๐ถ ยท ๐ต) < ๐ด)) |
14 | remulcl 11223 | . . . . 5 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) | |
15 | 6, 2, 14 | syl2anc 582 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
16 | ltdiv23neg.5 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ < 0) | |
17 | 6, 16 | ltned 11380 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ 0) |
18 | 6, 17 | rereccld 12071 | . . . 4 โข (๐ โ (1 / ๐ถ) โ โ) |
19 | 6, 16 | reclt0d 44832 | . . . 4 โข (๐ โ (1 / ๐ถ) < 0) |
20 | 15, 1, 18, 19 | ltmulneg 44837 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) < ๐ด โ (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)))) |
21 | recn 11228 | . . . . . . 7 โข (๐ถ โ โ โ ๐ถ โ โ) | |
22 | 6, 21 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
23 | 9, 22, 17 | divrecd 12023 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด / ๐ถ) = (๐ด ยท (1 / ๐ถ))) |
24 | 23 | eqcomd 2731 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ)) |
25 | 22, 11 | mulcld 11264 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
26 | 25, 22, 17 | divrecd 12023 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ))) |
27 | divcan3 11928 | . . . . . . 7 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต) | |
28 | 27 | 3expb 1117 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต) |
29 | 11, 22, 17, 28 | syl12anc 835 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต) |
30 | 26, 29 | eqtr3d 2767 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)) = ๐ต) |
31 | 24, 30 | breq12d 5156 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)) โ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)) |
32 | 20, 31 | bitrd 278 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) < ๐ด โ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)) |
33 | 7, 13, 32 | 3bitrd 304 | 1 โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2930 class class class wbr 5143 (class class class)co 7416 โcc 11136 โcr 11137 0cc0 11138 1c1 11139 ยท cmul 11143 < clt 11278 / cdiv 11901 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-id 5570 df-po 5584 df-so 5585 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7372 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-er 8723 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-rp 13007 |
This theorem is referenced by: pimrecltneg 46175 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |