Theorem ltdiv23neg 45344

Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdiv23neg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
ltdiv23neg.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
ltdiv23neg	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Proof of Theorem ltdiv23neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv23neg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltdiv23neg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltdiv23neg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	2, 3	ltned 11395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	1, 2, 4	redivcld 12093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6		ltdiv23neg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	5, 6, 2, 3	ltmulneg 45342	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)))
8		recn 11243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		recn 11243	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	9, 11, 4	divcan1d 12042	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
13	12	breq2d 5160	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) < 𝐴))
14		remulcl 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	6, 2, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
16		ltdiv23neg.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
17	6, 16	ltned 11395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
18	6, 17	rereccld 12092	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
19	6, 16	reclt0d 45337	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) < 0)
20	15, 1, 18, 19	ltmulneg 45342	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶))))
21		recn 11243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
22	6, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
23	9, 22, 17	divrecd 12044	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
24	23	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐶)) = (𝐴 / 𝐶))
25	22, 11	mulcld 11279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
26	25, 22, 17	divrecd 12044	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)))
27		divcan3 11946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
28	27	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
29	11, 22, 17, 28	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
30	26, 29	eqtr3d 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = 𝐵)
31	24, 30	breq12d 5161	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
32	20, 31	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
33	7, 13, 32	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293   / cdiv 11918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-rp 13033

This theorem is referenced by:  pimrecltneg  46680