![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > ltdiv23neg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltdiv23neg.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
ltdiv23neg.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
ltdiv23neg.3 | โข (๐ โ ๐ต < 0) |
ltdiv23neg.4 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
ltdiv23neg.5 | โข (๐ โ ๐ถ < 0) |
Ref | Expression |
---|---|
ltdiv23neg | โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltdiv23neg.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | ltdiv23neg.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | ltdiv23neg.3 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต < 0) | |
4 | 2, 3 | ltned 11296 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ 0) |
5 | 1, 2, 4 | redivcld 11988 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
6 | ltdiv23neg.4 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
7 | 5, 6, 2, 3 | ltmulneg 43713 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ (๐ถ ยท ๐ต) < ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต))) |
8 | recn 11146 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
9 | 1, 8 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
10 | recn 11146 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
11 | 2, 10 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
12 | 9, 11, 4 | divcan1d 11937 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด) |
13 | 12 | breq2d 5118 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) < ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) โ (๐ถ ยท ๐ต) < ๐ด)) |
14 | remulcl 11141 | . . . . 5 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) | |
15 | 6, 2, 14 | syl2anc 585 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
16 | ltdiv23neg.5 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ < 0) | |
17 | 6, 16 | ltned 11296 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ 0) |
18 | 6, 17 | rereccld 11987 | . . . 4 โข (๐ โ (1 / ๐ถ) โ โ) |
19 | 6, 16 | reclt0d 43708 | . . . 4 โข (๐ โ (1 / ๐ถ) < 0) |
20 | 15, 1, 18, 19 | ltmulneg 43713 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) < ๐ด โ (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)))) |
21 | recn 11146 | . . . . . . 7 โข (๐ถ โ โ โ ๐ถ โ โ) | |
22 | 6, 21 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
23 | 9, 22, 17 | divrecd 11939 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด / ๐ถ) = (๐ด ยท (1 / ๐ถ))) |
24 | 23 | eqcomd 2739 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ)) |
25 | 22, 11 | mulcld 11180 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
26 | 25, 22, 17 | divrecd 11939 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ))) |
27 | divcan3 11844 | . . . . . . 7 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต) | |
28 | 27 | 3expb 1121 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต) |
29 | 11, 22, 17, 28 | syl12anc 836 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต) |
30 | 26, 29 | eqtr3d 2775 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)) = ๐ต) |
31 | 24, 30 | breq12d 5119 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)) โ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)) |
32 | 20, 31 | bitrd 279 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) < ๐ด โ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)) |
33 | 7, 13, 32 | 3bitrd 305 | 1 โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcc 11054 โcr 11055 0cc0 11056 1c1 11057 ยท cmul 11061 < clt 11194 / cdiv 11817 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-po 5546 df-so 5547 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-rp 12921 |
This theorem is referenced by: pimrecltneg 45051 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |