Theorem ltdiv23neg 45397

Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdiv23neg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
ltdiv23neg.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
ltdiv23neg	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Proof of Theorem ltdiv23neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv23neg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltdiv23neg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltdiv23neg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	2, 3	ltned 11317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	1, 2, 4	redivcld 12017	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6		ltdiv23neg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	5, 6, 2, 3	ltmulneg 45395	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)))
8		recn 11165	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		recn 11165	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	9, 11, 4	divcan1d 11966	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
13	12	breq2d 5122	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) < 𝐴))
14		remulcl 11160	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	6, 2, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
16		ltdiv23neg.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
17	6, 16	ltned 11317	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
18	6, 17	rereccld 12016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
19	6, 16	reclt0d 45390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) < 0)
20	15, 1, 18, 19	ltmulneg 45395	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶))))
21		recn 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
22	6, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
23	9, 22, 17	divrecd 11968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
24	23	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐶)) = (𝐴 / 𝐶))
25	22, 11	mulcld 11201	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
26	25, 22, 17	divrecd 11968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)))
27		divcan3 11870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
28	27	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
29	11, 22, 17, 28	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
30	26, 29	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = 𝐵)
31	24, 30	breq12d 5123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
32	20, 31	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
33	7, 13, 32	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  pimrecltneg  46729