Theorem ltdiv23neg 42824

Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdiv23neg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
ltdiv23neg.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
ltdiv23neg	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Proof of Theorem ltdiv23neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv23neg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltdiv23neg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltdiv23neg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	2, 3	ltned 11041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	1, 2, 4	redivcld 11733	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6		ltdiv23neg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	5, 6, 2, 3	ltmulneg 42822	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)))
8		recn 10892	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		recn 10892	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	9, 11, 4	divcan1d 11682	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
13	12	breq2d 5082	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) < 𝐴))
14		remulcl 10887	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	6, 2, 14	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
16		ltdiv23neg.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
17	6, 16	ltned 11041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
18	6, 17	rereccld 11732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
19	6, 16	reclt0d 42816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) < 0)
20	15, 1, 18, 19	ltmulneg 42822	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶))))
21		recn 10892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
22	6, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
23	9, 22, 17	divrecd 11684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
24	23	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐶)) = (𝐴 / 𝐶))
25	22, 11	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
26	25, 22, 17	divrecd 11684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)))
27		divcan3 11589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
28	27	3expb 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
29	11, 22, 17, 28	syl12anc 833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
30	26, 29	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = 𝐵)
31	24, 30	breq12d 5083	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
32	20, 31	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
33	7, 13, 32	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   < clt 10940   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  pimrecltneg  44147