Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltdiv23neg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv23neg 43715
Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ltdiv23neg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
ltdiv23neg.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
ltdiv23neg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < 0)
ltdiv23neg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
ltdiv23neg.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < 0)
Assertion
Ref Expression
ltdiv23neg (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))

Proof of Theorem ltdiv23neg
StepHypRef Expression
1 ltdiv23neg.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 ltdiv23neg.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 ltdiv23neg.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < 0)
42, 3ltned 11296 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
51, 2, 4redivcld 11988 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
6 ltdiv23neg.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
75, 6, 2, 3ltmulneg 43713 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ถ ยท ๐ต) < ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต)))
8 recn 11146 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
91, 8syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 recn 11146 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
112, 10syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
129, 11, 4divcan1d 11937 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
1312breq2d 5118 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) < ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) โ†” (๐ถ ยท ๐ต) < ๐ด))
14 remulcl 11141 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
156, 2, 14syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
16 ltdiv23neg.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < 0)
176, 16ltned 11296 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
186, 17rereccld 11987 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„)
196, 16reclt0d 43708 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ถ) < 0)
2015, 1, 18, 19ltmulneg 43713 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) < ๐ด โ†” (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ))))
21 recn 11146 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
226, 21syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
239, 22, 17divrecd 11939 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ถ) = (๐ด ยท (1 / ๐ถ)))
2423eqcomd 2739 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ))
2522, 11mulcld 11180 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2625, 22, 17divrecd 11939 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)))
27 divcan3 11844 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
28273expb 1121 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
2911, 22, 17, 28syl12anc 836 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
3026, 29eqtr3d 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)) = ๐ต)
3124, 30breq12d 5119 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
3220, 31bitrd 279 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) < ๐ด โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
337, 13, 323bitrd 305 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194   / cdiv 11817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-rp 12921
This theorem is referenced by:  pimrecltneg  45051
  Copyright terms: Public domain W3C validator