Theorem xrlttri5d 43146

Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttri5d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
xrlttri5d.nlt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrlttri5d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrlttri5d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri5d.aneb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2	1	neneqd 2945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3		xrlttri5d.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttri5d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttri3 12970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
7	2, 6	mtbid 323	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8		oran 987	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
9	7, 8	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
10		xrlttri5d.nlt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
11	9, 10	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
12		pm5.61 998	. . 3 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
13	11, 12	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
14	13	simpld 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   class class class wbr 5089  ℝ^*cxr 11101   < clt 11102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107

This theorem is referenced by:  lttri5d  43162