Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrlttri5d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlttri5d 40419
Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttri5d.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.aneb (𝜑𝐴𝐵)
xrlttri5d.nlt (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xrlttri5d (𝜑𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrlttri5d
StepHypRef Expression
1 xrlttri5d.aneb . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
21neneqd 2974 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3 xrlttri5d.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttri5d.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttri3 12291 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
63, 4, 5syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
72, 6mtbid 316 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8 oran 975 . . . . 5 ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
97, 8sylibr 226 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴))
10 xrlttri5d.nlt . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
119, 10jca 507 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
12 pm5.61 986 . . 3 (((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
1311, 12sylib 210 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
1413simpld 490 1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969   class class class wbr 4888  *cxr 10412   < clt 10413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418
This theorem is referenced by:  lttri5d  40436
  Copyright terms: Public domain W3C validator