Theorem xrlttri5d 46408

Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttri5d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
xrlttri5d.nlt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrlttri5d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrlttri5d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri5d.aneb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2	1	neneqd 2960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3		xrlttri5d.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttri5d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttri3 13279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
7	2, 6	mtbid 327	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8		oran 1005	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
9	7, 8	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
10		xrlttri5d.nlt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
11	9, 10	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
12		pm5.61 1016	. . 3 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
13	11, 12	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
14	13	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355

This theorem is used by:  lttri5d  46423