Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrlttri5d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlttri5d 40287
Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttri5d.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.aneb (𝜑𝐴𝐵)
xrlttri5d.nlt (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xrlttri5d (𝜑𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrlttri5d
StepHypRef Expression
1 xrlttri5d.aneb . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
21neneqd 3004 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3 xrlttri5d.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttri5d.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttri3 12262 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
63, 4, 5syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
72, 6mtbid 316 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8 oran 1017 . . . . 5 ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
97, 8sylibr 226 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴))
10 xrlttri5d.nlt . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
119, 10jca 507 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
12 pm5.61 1028 . . 3 (((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
1311, 12sylib 210 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
1413simpld 490 1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999   class class class wbr 4873  *cxr 10390   < clt 10391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396
This theorem is referenced by:  lttri5d  40304
  Copyright terms: Public domain W3C validator