Theorem xrlttri5d 45862

Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttri5d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
xrlttri5d.nlt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrlttri5d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrlttri5d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri5d.aneb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2	1	neneqd 2965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3		xrlttri5d.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttri5d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttri3 13156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
6	3, 4, 5	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
7	2, 6	mtbid 327	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8		oran 1005	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
9	7, 8	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
10		xrlttri5d.nlt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
11	9, 10	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
12		pm5.61 1016	. . 3 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
13	11, 12	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
14	13	simpld 499	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5104  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236

This theorem is referenced by:  lttri5d  45877