Theorem xrlttri5d 45863

Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttri5d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
xrlttri5d.nlt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrlttri5d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrlttri5d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri5d.aneb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2	1	neneqd 2962	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3		xrlttri5d.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttri5d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttri3 13145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
6	3, 4, 5	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
7	2, 6	mtbid 326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8		oran 1003	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
9	7, 8	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
10		xrlttri5d.nlt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
11	9, 10	jca 519	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
12		pm5.61 1014	. . 3 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
13	11, 12	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
14	13	simpld 498	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221

This theorem is referenced by:  lttri5d  45878