Theorem subadd4b 45889

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
subadd4b.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subadd4b.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subadd4b.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
subadd4b.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subadd4b	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐷) + (𝐶 − 𝐵)))

Proof of Theorem subadd4b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subadd4b.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subadd4b.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subadd4b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
4		subadd4b.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	subadd4d 11613	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐷 − 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))
6	1, 2	subcld 11565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	6, 3, 4	subsub2d 11594	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐷 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 − 𝐷)))
8	2, 3	addcomd 11408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐵))
9	8	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)))
10	1, 4, 3, 2	addsub4d 11612	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐷) + (𝐶 − 𝐵)))
11	9, 10	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐷) + (𝐶 − 𝐵)))
12	5, 7, 11	3eqtr3d 2812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐷) + (𝐶 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℂcc 11094   + caddc 11099   − cmin 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439

This theorem is referenced by:  fourierdlem42  46750  fourierdlem107  46814