Theorem subadd4b 43208

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
subadd4b.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subadd4b.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subadd4b.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
subadd4b.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subadd4b	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐷) + (𝐶 − 𝐵)))

Proof of Theorem subadd4b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subadd4b.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subadd4b.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subadd4b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
4		subadd4b.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	subadd4d 11490	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐷 − 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))
6	1, 2	subcld 11442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	6, 3, 4	subsub2d 11471	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐷 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 − 𝐷)))
8	2, 3	addcomd 11287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐵))
9	8	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)))
10	1, 4, 3, 2	addsub4d 11489	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐷) + (𝐶 − 𝐵)))
11	9, 10	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐷) + (𝐶 − 𝐵)))
12	5, 7, 11	3eqtr3d 2785	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐷) + (𝐶 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7346  ℂcc 10979   + caddc 10984   − cmin 11315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-id 5525  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-ltxr 11124  df-sub 11317

This theorem is referenced by:  fourierdlem42  44078  fourierdlem107  44142