Theorem lttri5d 45838

Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lttri5d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lttri5d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lttri5d.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
lttri5d.nlt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lttri5d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem lttri5d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri5d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11225	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		lttri5d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11225	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		lttri5d.aneb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		lttri5d.nlt	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
7	2, 4, 5, 6	xrlttri5d 45823	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  ℝcr 11065   < clt 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214

This theorem is referenced by:  reclt0  45926  limcleqr  46178  ioodvbdlimc1lem1  46465  fourierdlem34  46675  fourierdlem35  46676  fourierdlem43  46684  fourierdlem44  46685  fourierdlem74  46714  fourierdlem109  46749  fouriersw  46765  pimrecltpos  47242  smfrec  47323