Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lttri5d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lttri5d 45311
Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lttri5d.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lttri5d.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lttri5d.aneb (𝜑𝐴𝐵)
lttri5d.nlt (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lttri5d (𝜑𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem lttri5d
StepHypRef Expression
1 lttri5d.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 11311 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 lttri5d.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 11311 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 lttri5d.aneb . 2 (𝜑𝐴𝐵)
6 lttri5d.nlt . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
72, 4, 5, 6xrlttri5d 45295 1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cr 11154   < clt 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300
This theorem is referenced by:  reclt0  45402  limcleqr  45659  ioodvbdlimc1lem1  45946  fourierdlem34  46156  fourierdlem35  46157  fourierdlem43  46165  fourierdlem44  46166  fourierdlem74  46195  fourierdlem109  46230  fouriersw  46246  pimrecltpos  46723  smfrec  46804
  Copyright terms: Public domain W3C validator