Theorem lttri5d 44672

Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lttri5d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lttri5d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lttri5d.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
lttri5d.nlt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lttri5d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem lttri5d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri5d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11289	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		lttri5d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11289	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		lttri5d.aneb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		lttri5d.nlt	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
7	2, 4, 5, 6	xrlttri5d 44656	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936   class class class wbr 5143  ℝcr 11132   < clt 11273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278

This theorem is referenced by:  reclt0  44764  limcleqr  45023  ioodvbdlimc1lem1  45310  fourierdlem34  45520  fourierdlem35  45521  fourierdlem43  45529  fourierdlem44  45530  fourierdlem74  45559  fourierdlem109  45594  fouriersw  45610  pimrecltpos  46087  smfrec  46168