Theorem lttri5d 45276

Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lttri5d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lttri5d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lttri5d.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
lttri5d.nlt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lttri5d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem lttri5d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri5d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11283	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		lttri5d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11283	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		lttri5d.aneb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		lttri5d.nlt	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
7	2, 4, 5, 6	xrlttri5d 45260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ℝcr 11126   < clt 11267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272

This theorem is referenced by:  reclt0  45366  limcleqr  45621  ioodvbdlimc1lem1  45908  fourierdlem34  46118  fourierdlem35  46119  fourierdlem43  46127  fourierdlem44  46128  fourierdlem74  46157  fourierdlem109  46192  fouriersw  46208  pimrecltpos  46685  smfrec  46766