Theorem lttri5d 43768

Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lttri5d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lttri5d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lttri5d.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
lttri5d.nlt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lttri5d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem lttri5d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri5d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11243	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		lttri5d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11243	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		lttri5d.aneb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		lttri5d.nlt	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
7	2, 4, 5, 6	xrlttri5d 43752	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   class class class wbr 5138  ℝcr 11088   < clt 11227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232

This theorem is referenced by:  reclt0  43860  limcleqr  44119  ioodvbdlimc1lem1  44406  fourierdlem34  44616  fourierdlem35  44617  fourierdlem43  44625  fourierdlem44  44626  fourierdlem74  44655  fourierdlem109  44690  fouriersw  44706  pimrecltpos  45183  smfrec  45264