Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssuzfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssuzfz 43674
Description: A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ssuzfz.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ssuzfz.2 (𝜑𝐴𝑍)
ssuzfz.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
ssuzfz (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Proof of Theorem ssuzfz
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssuzfz.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑍)
21sselda 3948 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
3 ssuzfz.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleqtrdi 2843 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 12776 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 uzssz 12792 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
83, 7eqsstri 3982 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℤ
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ⊆ ℤ)
101, 9sstrd 3958 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
12 ne0i 4298 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴𝐴 ≠ ∅)
1312adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14 ssuzfz.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1514adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
16 suprfinzcl 12625 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
1711, 13, 15, 16syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
1811, 17sseldd 3949 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
1910sselda 3948 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
20 eluzle 12784 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
214, 20syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀𝑘)
22 zssre 12514 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ)
2410, 23sstrd 3958 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2524adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
27 eqidd 2733 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
2825, 15, 26, 27supfirege 12150 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
296, 18, 19, 21, 28elfzd 13441 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3029ex 414 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
3130ralrimiv 3139 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
32 dfss3 3936 . 2 (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑘𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3331, 32sylibr 233 1 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wss 3914  c0 4286   class class class wbr 5109  cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  supcsup 9384  cr 11058   < clt 11197  cle 11198  cz 12507  cuz 12771  ...cfz 13433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434
This theorem is referenced by:  sge0isum  44758
  Copyright terms: Public domain W3C validator