Theorem ssuzfz 42778

Description: A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssuzfz.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ssuzfz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
ssuzfz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ssuzfz	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Proof of Theorem ssuzfz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssuzfz.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
2	1	sselda 3917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3		ssuzfz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzel2 12516	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		uzssz 12532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
8	3, 7	eqsstri 3951	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
10	1, 9	sstrd 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
12		ne0i 4265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14		ssuzfz.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
16		suprfinzcl 12365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
17	11, 13, 15, 16	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
18	11, 17	sseldd 3918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
19	10	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
20		eluzle 12524	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
21	4, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑘)
22		zssre 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ)
24	10, 23	sstrd 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
27		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
28	25, 15, 26, 27	supfirege 11892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
29	6, 18, 19, 21, 28	elfzd 13176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
31	30	ralrimiv 3106	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
32		dfss3 3905	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33	31, 32	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  supcsup 9129  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  sge0isum  43855