Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssuzfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssuzfz 42609
Description: A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ssuzfz.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ssuzfz.2 (𝜑𝐴𝑍)
ssuzfz.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
ssuzfz (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Proof of Theorem ssuzfz
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssuzfz.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑍)
21sselda 3918 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
3 ssuzfz.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleqtrdi 2850 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 12473 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 uzssz 12489 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
83, 7eqsstri 3952 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℤ
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ⊆ ℤ)
101, 9sstrd 3928 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
12 ne0i 4266 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴𝐴 ≠ ∅)
1312adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14 ssuzfz.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1514adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
16 suprfinzcl 12322 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
1711, 13, 15, 16syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
1811, 17sseldd 3919 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
1910sselda 3918 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
20 eluzle 12481 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
214, 20syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀𝑘)
22 zssre 12213 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ)
2410, 23sstrd 3928 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2524adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
27 eqidd 2740 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
2825, 15, 26, 27supfirege 11849 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
296, 18, 19, 21, 28elfzd 13133 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3029ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
3130ralrimiv 3107 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
32 dfss3 3905 . 2 (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑘𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3331, 32sylibr 237 1 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wne 2943  wral 3064  wss 3883  c0 4254   class class class wbr 5070  cfv 6401  (class class class)co 7235  Fincfn 8650  supcsup 9086  cr 10758   < clt 10897  cle 10898  cz 12206  cuz 12468  ...cfz 13125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-cnex 10815  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-pre-mulgt0 10836  ax-pre-sup 10837
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5179  df-id 5472  df-eprel 5478  df-po 5486  df-so 5487  df-fr 5527  df-we 5529  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-pred 6179  df-ord 6237  df-on 6238  df-lim 6239  df-suc 6240  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-om 7667  df-1st 7783  df-2nd 7784  df-wrecs 8071  df-recs 8132  df-rdg 8170  df-er 8415  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-fin 8654  df-sup 9088  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095  df-nn 11861  df-n0 12121  df-z 12207  df-uz 12469  df-fz 13126
This theorem is referenced by:  sge0isum  43686
  Copyright terms: Public domain W3C validator