Theorem ssuzfz 45458

Description: A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssuzfz.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ssuzfz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
ssuzfz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ssuzfz	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Proof of Theorem ssuzfz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssuzfz.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
2	1	sselda 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3		ssuzfz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrdi 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzel2 12737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		uzssz 12753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
8	3, 7	eqsstri 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
10	1, 9	sstrd 3940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
12		ne0i 4288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14		ssuzfz.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
16		suprfinzcl 12587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
17	11, 13, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
18	11, 17	sseldd 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
19	10	sselda 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
20		eluzle 12745	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
21	4, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑘)
22		zssre 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ)
24	10, 23	sstrd 3940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
27		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
28	25, 15, 26, 27	supfirege 12109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
29	6, 18, 19, 21, 28	elfzd 13415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
31	30	ralrimiv 3123	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
32		dfss3 3918	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33	31, 32	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  supcsup 9324  ℝcr 11005   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  sge0isum  46535