Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssuzfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssuzfz 44049
Description: A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ssuzfz.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ssuzfz.2 (𝜑𝐴𝑍)
ssuzfz.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
ssuzfz (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Proof of Theorem ssuzfz
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssuzfz.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑍)
21sselda 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
3 ssuzfz.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleqtrdi 2843 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 12826 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 uzssz 12842 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
83, 7eqsstri 4016 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℤ
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ⊆ ℤ)
101, 9sstrd 3992 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
12 ne0i 4334 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴𝐴 ≠ ∅)
1312adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14 ssuzfz.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
16 suprfinzcl 12675 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
1711, 13, 15, 16syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
1811, 17sseldd 3983 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
1910sselda 3982 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
20 eluzle 12834 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
214, 20syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀𝑘)
22 zssre 12564 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ)
2410, 23sstrd 3992 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2524adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
27 eqidd 2733 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
2825, 15, 26, 27supfirege 12200 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
296, 18, 19, 21, 28elfzd 13491 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3029ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
3130ralrimiv 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
32 dfss3 3970 . 2 (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑘𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3331, 32sylibr 233 1 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  supcsup 9434  cr 11108   < clt 11247  cle 11248  cz 12557  cuz 12821  ...cfz 13483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484
This theorem is referenced by:  sge0isum  45133
  Copyright terms: Public domain W3C validator