NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  copsex4g GIF version

Theorem copsex4g 4610
Description: An implicit substitution inference for 2 ordered pairs. (Contributed by NM, 5-Aug-1995.)
Hypothesis
Ref Expression
copsex4g.1 (((x = A y = B) (z = C w = D)) → (φψ))
Assertion
Ref Expression
copsex4g (((A R B S) (C R D S)) → (xyzw((A, B = x, y C, D = z, w) φ) ↔ ψ))
Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,C,y,z,w   x,D,y,z,w   ψ,x,y,z,w   x,R,y,z,w   x,S,y,z,w
Allowed substitution hints:   φ(x,y,z,w)

Proof of Theorem copsex4g
StepHypRef Expression
1 eqcom 2355 . . . . . . 7 (A, B = x, yx, y = A, B)
2 opth 4602 . . . . . . 7 (x, y = A, B ↔ (x = A y = B))
31, 2bitri 240 . . . . . 6 (A, B = x, y ↔ (x = A y = B))
4 eqcom 2355 . . . . . . 7 (C, D = z, wz, w = C, D)
5 opth 4602 . . . . . . 7 (z, w = C, D ↔ (z = C w = D))
64, 5bitri 240 . . . . . 6 (C, D = z, w ↔ (z = C w = D))
73, 6anbi12i 678 . . . . 5 ((A, B = x, y C, D = z, w) ↔ ((x = A y = B) (z = C w = D)))
87anbi1i 676 . . . 4 (((A, B = x, y C, D = z, w) φ) ↔ (((x = A y = B) (z = C w = D)) φ))
982exbii 1583 . . 3 (zw((A, B = x, y C, D = z, w) φ) ↔ zw(((x = A y = B) (z = C w = D)) φ))
1092exbii 1583 . 2 (xyzw((A, B = x, y C, D = z, w) φ) ↔ xyzw(((x = A y = B) (z = C w = D)) φ))
11 id 19 . . 3 (((x = A y = B) (z = C w = D)) → ((x = A y = B) (z = C w = D)))
12 copsex4g.1 . . 3 (((x = A y = B) (z = C w = D)) → (φψ))
1311, 12cgsex4g 2892 . 2 (((A R B S) (C R D S)) → (xyzw(((x = A y = B) (z = C w = D)) φ) ↔ ψ))
1410, 13syl5bb 248 1 (((A R B S) (C R D S)) → (xyzw((A, B = x, y C, D = z, w) φ) ↔ ψ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 176   wa 358  wex 1541   = wceq 1642   wcel 1710  cop 4561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568
This theorem is referenced by:  opbrop  4841  ov3  5599
  Copyright terms: Public domain W3C validator