New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  dfoprab2 GIF version

Theorem dfoprab2 5558
 Description: Class abstraction for operations in terms of class abstraction of ordered pairs. (Contributed by set.mm contributors, 12-Mar-1995.)
Assertion
Ref Expression
dfoprab2 {x, y, z φ} = {w, z xy(w = x, y φ)}
Distinct variable groups:   x,z,w   y,z,w   φ,w
Allowed substitution hints:   φ(x,y,z)

Proof of Theorem dfoprab2
Dummy variable v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 excom 1741 . . . 4 (zwxy(v = w, z (w = x, y φ)) ↔ wzxy(v = w, z (w = x, y φ)))
2 exrot4 1745 . . . . 5 (zwxy(v = w, z (w = x, y φ)) ↔ xyzw(v = w, z (w = x, y φ)))
3 an12 772 . . . . . . . 8 ((v = w, z (w = x, y φ)) ↔ (w = x, y (v = w, z φ)))
43exbii 1582 . . . . . . 7 (w(v = w, z (w = x, y φ)) ↔ w(w = x, y (v = w, z φ)))
5 vex 2862 . . . . . . . . 9 x V
6 vex 2862 . . . . . . . . 9 y V
75, 6opex 4588 . . . . . . . 8 x, y V
8 opeq1 4578 . . . . . . . . . 10 (w = x, yw, z = x, y, z)
98eqeq2d 2364 . . . . . . . . 9 (w = x, y → (v = w, zv = x, y, z))
109anbi1d 685 . . . . . . . 8 (w = x, y → ((v = w, z φ) ↔ (v = x, y, z φ)))
117, 10ceqsexv 2894 . . . . . . 7 (w(w = x, y (v = w, z φ)) ↔ (v = x, y, z φ))
124, 11bitri 240 . . . . . 6 (w(v = w, z (w = x, y φ)) ↔ (v = x, y, z φ))
13123exbii 1584 . . . . 5 (xyzw(v = w, z (w = x, y φ)) ↔ xyz(v = x, y, z φ))
142, 13bitri 240 . . . 4 (zwxy(v = w, z (w = x, y φ)) ↔ xyz(v = x, y, z φ))
15 19.42vv 1907 . . . . 5 (xy(v = w, z (w = x, y φ)) ↔ (v = w, z xy(w = x, y φ)))
16152exbii 1583 . . . 4 (wzxy(v = w, z (w = x, y φ)) ↔ wz(v = w, z xy(w = x, y φ)))
171, 14, 163bitr3i 266 . . 3 (xyz(v = x, y, z φ) ↔ wz(v = w, z xy(w = x, y φ)))
1817abbii 2465 . 2 {v xyz(v = x, y, z φ)} = {v wz(v = w, z xy(w = x, y φ))}
19 df-oprab 5528 . 2 {x, y, z φ} = {v xyz(v = x, y, z φ)}
20 df-opab 4623 . 2 {w, z xy(w = x, y φ)} = {v wz(v = w, z xy(w = x, y φ))}
2118, 19, 203eqtr4i 2383 1 {x, y, z φ} = {w, z xy(w = x, y φ)}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642  {cab 2339  ⟨cop 4561  {copab 4622  {coprab 5527 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565  df-op 4566  df-opab 4623  df-oprab 5528 This theorem is referenced by:  cbvoprab1  5567  cbvoprab12  5569  cbvoprab3  5571  dmoprab  5574  rnoprab  5576  ssoprab2i  5580  resoprab  5581  funoprabg  5583  fnov  5591  ov6g  5600  mpt2mptx  5708  dfswap3  5728
 Copyright terms: Public domain W3C validator