Theorem fvclss 5463

Description: Upper bound for the class of values of a class. (Contributed by NM, 9-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
fvclss	⊢ {y ∣ ∃x y = (F ‘x)} ⊆ (ran F ∪ {∅})

Distinct variable group:   x,y,F

Proof of Theorem fvclss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = (F ‘x) ↔ (F ‘x) = y)
2		tz6.12i 5349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ≠ ∅ → ((F ‘x) = y → xFy))
3	1, 2	syl5bi 208	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ≠ ∅ → (y = (F ‘x) → xFy))
4	3	eximdv 1622	. . . . . . . 8 ⊢ (y ≠ ∅ → (∃x y = (F ‘x) → ∃x xFy))
5	4	com12 27	. . . . . . 7 ⊢ (∃x y = (F ‘x) → (y ≠ ∅ → ∃x xFy))
6		elrn 4897	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ran F ↔ ∃x xFy)
7	5, 6	syl6ibr 218	. . . . . 6 ⊢ (∃x y = (F ‘x) → (y ≠ ∅ → y ∈ ran F))
8	7	necon1bd 2585	. . . . 5 ⊢ (∃x y = (F ‘x) → (¬ y ∈ ran F → y = ∅))
9		vex 2863	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
10	9	elsnc 3757	. . . . 5 ⊢ (y ∈ {∅} ↔ y = ∅)
11	8, 10	syl6ibr 218	. . . 4 ⊢ (∃x y = (F ‘x) → (¬ y ∈ ran F → y ∈ {∅}))
12	11	orrd 367	. . 3 ⊢ (∃x y = (F ‘x) → (y ∈ ran F ∨ y ∈ {∅}))
13		elun 3221	. . 3 ⊢ (y ∈ (ran F ∪ {∅}) ↔ (y ∈ ran F ∨ y ∈ {∅}))
14	12, 13	sylibr 203	. 2 ⊢ (∃x y = (F ‘x) → y ∈ (ran F ∪ {∅}))
15	14	abssi 3342	1 ⊢ {y ∣ ∃x y = (F ‘x)} ⊆ (ran F ∪ {∅})

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 357  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339   ≠ wne 2517   ∪ cun 3208   ⊆ wss 3258  ∅c0 3551  {csn 3738   class class class wbr 4640  ran crn 4774   ‘cfv 4782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-br 4641  df-ima 4728  df-rn 4787  df-fv 4796

This theorem is referenced by: (None)