Theorem vfinncvntsp 4549

Description: If the universe is finite, then its size is not a T raising of an element of Sp_fin. Corollary of theorem X.1.58 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 27-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
vfinncvntsp	⊢ (V ∈ Fin → ¬ Ncfin V ∈ {a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x})

Distinct variable group:   x,a

Proof of Theorem vfinncvntsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vfinspnn 4541	. . . . . . . 8 ⊢ (V ∈ Fin → Spfin ⊆ ( Nn ∖ {∅}))
2		difss 3393	. . . . . . . 8 ⊢ ( Nn ∖ {∅}) ⊆ Nn
3	1, 2	syl6ss 3284	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ Fin → Spfin ⊆ Nn )
4	3	sselda 3273	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ x ∈ Spfin ) → x ∈ Nn )
5		vfinncvntnn 4548	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ x ∈ Nn ) → Tfin x ≠ Ncfin V)
6	4, 5	syldan 456	. . . . 5 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ x ∈ Spfin ) → Tfin x ≠ Ncfin V)
7	6	necomd 2599	. . . 4 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ x ∈ Spfin ) → Ncfin V ≠ Tfin x)
8		df-ne 2518	. . . 4 ⊢ ( Ncfin V ≠ Tfin x ↔ ¬ Ncfin V = Tfin x)
9	7, 8	sylib 188	. . 3 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ x ∈ Spfin ) → ¬ Ncfin V = Tfin x)
10	9	nrexdv 2717	. 2 ⊢ (V ∈ Fin → ¬ ∃x ∈ Spfin Ncfin V = Tfin x)
11		ncfinex 4472	. . 3 ⊢ Ncfin V ∈ V
12		eqeq1 2359	. . . 4 ⊢ (a = Ncfin V → (a = Tfin x ↔ Ncfin V = Tfin x))
13	12	rexbidv 2635	. . 3 ⊢ (a = Ncfin V → (∃x ∈ Spfin a = Tfin x ↔ ∃x ∈ Spfin Ncfin V = Tfin x))
14	11, 13	elab 2985	. 2 ⊢ ( Ncfin V ∈ {a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ↔ ∃x ∈ Spfin Ncfin V = Tfin x)
15	10, 14	sylnibr 296	1 ⊢ (V ∈ Fin → ¬ Ncfin V ∈ {a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∖ cdif 3206  ∅c0 3550  {csn 3737   Nn cnnc 4373   Fin cfin 4376   Nc_fin cncfin 4434   T_fin ctfin 4435   Sp_fin cspfin 4439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-sfin 4446  df-spfin 4447

This theorem is referenced by:  vfinncsp  4554