Theorem vfinspeqtncv 4553

Description: If the universe is finite, then Sp_fin is equal to its T raisings and the cardinality of the universe. Theorem X.1.61 of [Rosser] p. 536. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
vfinspeqtncv	⊢ (V ∈ Fin → Spfin = ({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))

Distinct variable group:   x,a

Proof of Theorem vfinspeqtncv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vfinspss 4551	. 2 ⊢ (V ∈ Fin → Spfin ⊆ ({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
2		vfinspclt 4552	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ x ∈ Spfin ) → Tfin x ∈ Spfin )
3		eleq1 2413	. . . . . . . . 9 ⊢ (a = Tfin x → (a ∈ Spfin ↔ Tfin x ∈ Spfin ))
4	3	biimprd 214	. . . . . . . 8 ⊢ (a = Tfin x → ( Tfin x ∈ Spfin → a ∈ Spfin ))
5	4	com12 27	. . . . . . 7 ⊢ ( Tfin x ∈ Spfin → (a = Tfin x → a ∈ Spfin ))
6	2, 5	syl 15	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ x ∈ Spfin ) → (a = Tfin x → a ∈ Spfin ))
7	6	rexlimdva 2738	. . . . 5 ⊢ (V ∈ Fin → (∃x ∈ Spfin a = Tfin x → a ∈ Spfin ))
8	7	abssdv 3340	. . . 4 ⊢ (V ∈ Fin → {a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ⊆ Spfin )
9		ncvspfin 4538	. . . . 5 ⊢ Ncfin V ∈ Spfin
10		ncfinex 4472	. . . . . 6 ⊢ Ncfin V ∈ V
11	10	snss 3838	. . . . 5 ⊢ ( Ncfin V ∈ Spfin ↔ { Ncfin V} ⊆ Spfin )
12	9, 11	mpbi 199	. . . 4 ⊢ { Ncfin V} ⊆ Spfin
13	8, 12	jctir 524	. . 3 ⊢ (V ∈ Fin → ({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ⊆ Spfin ∧ { Ncfin V} ⊆ Spfin ))
14		unss 3437	. . 3 ⊢ (({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ⊆ Spfin ∧ { Ncfin V} ⊆ Spfin ) ↔ ({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) ⊆ Spfin )
15	13, 14	sylib 188	. 2 ⊢ (V ∈ Fin → ({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) ⊆ Spfin )
16	1, 15	eqssd 3289	1 ⊢ (V ∈ Fin → Spfin = ({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∪ cun 3207   ⊆ wss 3257  {csn 3737   Fin cfin 4376   Nc_fin cncfin 4434   T_fin ctfin 4435   Sp_fin cspfin 4439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-sfin 4446  df-spfin 4447

This theorem is referenced by:  vfinncsp  4554