Theorem vfinspeqtncv 4554

Description: If the universe is finite, then Sp_fin is equal to its T raisings and the cardinality of the universe. Theorem X.1.61 of [Rosser] p. 536. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
vfinspeqtncv	⊢ (V ∈ Fin → Spfin = ({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))

Distinct variable group:   x,a

Proof of Theorem vfinspeqtncv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vfinspss 4552	. 2 ⊢ (V ∈ Fin → Spfin ⊆ ({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
2		vfinspclt 4553	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ x ∈ Spfin ) → Tfin x ∈ Spfin )
3		eleq1 2413	. . . . . . . . 9 ⊢ (a = Tfin x → (a ∈ Spfin ↔ Tfin x ∈ Spfin ))
4	3	biimprd 214	. . . . . . . 8 ⊢ (a = Tfin x → ( Tfin x ∈ Spfin → a ∈ Spfin ))
5	4	com12 27	. . . . . . 7 ⊢ ( Tfin x ∈ Spfin → (a = Tfin x → a ∈ Spfin ))
6	2, 5	syl 15	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ x ∈ Spfin ) → (a = Tfin x → a ∈ Spfin ))
7	6	rexlimdva 2739	. . . . 5 ⊢ (V ∈ Fin → (∃x ∈ Spfin a = Tfin x → a ∈ Spfin ))
8	7	abssdv 3341	. . . 4 ⊢ (V ∈ Fin → {a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ⊆ Spfin )
9		ncvspfin 4539	. . . . 5 ⊢ Ncfin V ∈ Spfin
10		ncfinex 4473	. . . . . 6 ⊢ Ncfin V ∈ V
11	10	snss 3839	. . . . 5 ⊢ ( Ncfin V ∈ Spfin ↔ { Ncfin V} ⊆ Spfin )
12	9, 11	mpbi 199	. . . 4 ⊢ { Ncfin V} ⊆ Spfin
13	8, 12	jctir 524	. . 3 ⊢ (V ∈ Fin → ({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ⊆ Spfin ∧ { Ncfin V} ⊆ Spfin ))
14		unss 3438	. . 3 ⊢ (({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ⊆ Spfin ∧ { Ncfin V} ⊆ Spfin ) ↔ ({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) ⊆ Spfin )
15	13, 14	sylib 188	. 2 ⊢ (V ∈ Fin → ({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) ⊆ Spfin )
16	1, 15	eqssd 3290	1 ⊢ (V ∈ Fin → Spfin = ({a ∣ ∃x ∈ Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∃wrex 2616  Vcvv 2860   ∪ cun 3208   ⊆ wss 3258  {csn 3738   Fin cfin 4377   Nc_fin cncfin 4435   T_fin ctfin 4436   Sp_fin cspfin 4440

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-sfin 4447  df-spfin 4448

This theorem is used by:  vfinncsp  4555