Theorem 2exp5 13160

Description: Two to the fifth power is 32. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp5	|- ( 2 ^ 5 ) = ; 3 2

Proof of Theorem 2exp5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 9400	. . . . 5 |- ( 3 + 2 ) = 5
2	1	eqcomi 2238	. . . 4 |- 5 = ( 3 + 2 )
3	2	oveq2i 6070	. . 3 |- ( 2 ^ 5 ) = ( 2 ^ ( 3 + 2 ) )
4		2cn 9329	. . . . 5 |- 2 e. CC
5		3nn0 9535	. . . . 5 |- 3 e. NN0
6		2nn0 9534	. . . . 5 |- 2 e. NN0
7		expadd 10971	. . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ 3 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 3 + 2 ) ) = ( ( 2 ^ 3 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) )
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1374	. . . 4 |- ( 2 ^ ( 3 + 2 ) ) = ( ( 2 ^ 3 ) x. ( 2 ^ 2 ) )
9		cu2 11028	. . . . 5 |- ( 2 ^ 3 ) = 8
10		sq2 11025	. . . . 5 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
11	9, 10	oveq12i 6071	. . . 4 |- ( ( 2 ^ 3 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) = ( 8 x. 4 )
12	8, 11	eqtri 2255	. . 3 |- ( 2 ^ ( 3 + 2 ) ) = ( 8 x. 4 )
13	3, 12	eqtri 2255	. 2 |- ( 2 ^ 5 ) = ( 8 x. 4 )
14		8t4e32 9847	. 2 |- ( 8 x. 4 ) = ; 3 2
15	13, 14	eqtri 2255	1 |- ( 2 ^ 5 ) = ; 3 2

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6059   CCcc 8142   + caddc 8147   x. cmul 8149   2c2 9309   3c3 9310   4c4 9311   5c5 9312   8c8 9315   NN0cn0 9517  ;cdc 9731   ^cexp 10928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-dec 9732  df-uz 9876  df-seqfrec 10838  df-exp 10929

This theorem is referenced by: (None)