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Theorem axmulass 7814
Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulass 7856. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulass |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. C ) = ( A x. ( B x. C ) ) )
Proof of Theorem axmulass
Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 7782 . 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2 mulcnsrec 7784 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E )
3 mulcnsrec 7784 . 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E x. [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) , ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) >. ] `' _E )
4 mulcnsrec 7784 . 2 |- ( ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E x. [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) +R ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) ) , ( ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R v ) +R ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) ) >. ] `' _E )
5 mulcnsrec 7784 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) , ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) ) , ( ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) >. ] `' _E )
6 mulclsr 7695 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) e. R. )
7 m1r 7693 . . . . . 6 |- -1R e. R.
8 mulclsr 7695 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) e. R. )
9 mulclsr 7695 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
107, 8, 9sylancr 411 . . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
11 addclsr 7694 . . . . 5 |- ( ( ( x .R z ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
126, 10, 11syl2an 287 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ z e. R. ) /\ ( y e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
1312an4s 578 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
14 mulclsr 7695 . . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) e. R. )
15 mulclsr 7695 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) e. R. )
16 addclsr 7694 . . . . 5 |- ( ( ( y .R z ) e. R. /\ ( x .R w ) e. R. ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
1714, 15, 16syl2anr 288 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ w e. R. ) /\ ( y e. R. /\ z e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
1817an42s 579 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
1913, 18jca 304 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) )
20 mulclsr 7695 . . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ v e. R. ) -> ( z .R v ) e. R. )
21 mulclsr 7695 . . . . . 6 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( w .R u ) e. R. )
22 mulclsr 7695 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( w .R u ) e. R. ) -> ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. )
237, 21, 22sylancr 411 . . . . 5 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. )
24 addclsr 7694 . . . . 5 |- ( ( ( z .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
2520, 23, 24syl2an 287 . . . 4 |- ( ( ( z e. R. /\ v e. R. ) /\ ( w e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
2625an4s 578 . . 3 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
27 mulclsr 7695 . . . . 5 |- ( ( w e. R. /\ v e. R. ) -> ( w .R v ) e. R. )
28 mulclsr 7695 . . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ u e. R. ) -> ( z .R u ) e. R. )
29 addclsr 7694 . . . . 5 |- ( ( ( w .R v ) e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. )
3027, 28, 29syl2anr 288 . . . 4 |- ( ( ( z e. R. /\ u e. R. ) /\ ( w e. R. /\ v e. R. ) ) -> ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. )
3130an42s 579 . . 3 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. )
3226, 31jca 304 . 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. ) )
33 simp1l 1011 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> x e. R. )
34 simp2l 1013 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> z e. R. )
35 simp3l 1015 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> v e. R. )
3634, 35, 20syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( z .R v ) e. R. )
37 mulclsr 7695 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ ( z .R v ) e. R. ) -> ( x .R ( z .R v ) ) e. R. )
3833, 36, 37syl2anc 409 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( z .R v ) ) e. R. )
39 simp2r 1014 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> w e. R. )
40 simp3r 1016 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> u e. R. )
4139, 40, 21syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( w .R u ) e. R. )
427, 41, 22sylancr 411 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. )
43 mulclsr 7695 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
4433, 42, 43syl2anc 409 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
45 simp1r 1012 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> y e. R. )
4639, 35, 27syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( w .R v ) e. R. )
47 mulclsr 7695 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ ( w .R v ) e. R. ) -> ( y .R ( w .R v ) ) e. R. )
4845, 46, 47syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( w .R v ) ) e. R. )
49 mulclsr 7695 . . . . 5 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R ( w .R v ) ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) e. R. )
507, 48, 49sylancr 411 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) e. R. )
51 addcomsrg 7696 . . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
5251adantl 275 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
53 addasssrg 7697 . . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
5453adantl 275 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
5534, 40, 28syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( z .R u ) e. R. )
56 mulclsr 7695 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( y .R ( z .R u ) ) e. R. )
5745, 55, 56syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( z .R u ) ) e. R. )
58 mulclsr 7695 . . . . 5 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R ( z .R u ) ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) e. R. )
597, 57, 58sylancr 411 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) e. R. )
60 addclsr 7694 . . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) e. R. )
6160adantl 275 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) e. R. )
6238, 44, 50, 52, 54, 59, 61caov42d 6028 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) ) = ( ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) ) )
63 distrsrg 7700 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ ( z .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
6433, 36, 42, 63syl3anc 1228 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
65 distrsrg 7700 . . . . . . 7 |- ( ( y e. R. /\ ( w .R v ) e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) = ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) )
6645, 46, 55, 65syl3anc 1228 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) = ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) )
6766oveq2d 5858 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) = ( -1R .R ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) )
687a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> -1R e. R. )
69 distrsrg 7700 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R ( w .R v ) ) e. R. /\ ( y .R ( z .R u ) ) e. R. ) -> ( -1R .R ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) )
7068, 48, 57, 69syl3anc 1228 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) )
7167, 70eqtrd 2198 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) )
7264, 71oveq12d 5860 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) ) = ( ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) ) )
73 mulcomsrg 7698 . . . . . . 7 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f .R g ) = ( g .R f ) )
7473adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f .R g ) = ( g .R f ) )
75 distrsrg 7700 . . . . . . . . 9 |- ( ( h e. R. /\ f e. R. /\ g e. R. ) -> ( h .R ( f +R g ) ) = ( ( h .R f ) +R ( h .R g ) ) )
76753coml 1200 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( h .R ( f +R g ) ) = ( ( h .R f ) +R ( h .R g ) ) )
77 simp3 989 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> h e. R. )
78603adant3 1007 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f +R g ) e. R. )
79 mulcomsrg 7698 . . . . . . . . 9 |- ( ( h e. R. /\ ( f +R g ) e. R. ) -> ( h .R ( f +R g ) ) = ( ( f +R g ) .R h ) )
8077, 78, 79syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( h .R ( f +R g ) ) = ( ( f +R g ) .R h ) )
81 simp1 987 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> f e. R. )
82 mulcomsrg 7698 . . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. R. /\ f e. R. ) -> ( h .R f ) = ( f .R h ) )
8377, 81, 82syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( h .R f ) = ( f .R h ) )
84 simp2 988 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> g e. R. )
85 mulcomsrg 7698 . . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. R. /\ g e. R. ) -> ( h .R g ) = ( g .R h ) )
8677, 84, 85syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( h .R g ) = ( g .R h ) )
8783, 86oveq12d 5860 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( h .R f ) +R ( h .R g ) ) = ( ( f .R h ) +R ( g .R h ) ) )
8876, 80, 873eqtr3d 2206 . . . . . . 7 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) .R h ) = ( ( f .R h ) +R ( g .R h ) ) )
8988adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) .R h ) = ( ( f .R h ) +R ( g .R h ) ) )
90 mulasssrg 7699 . . . . . . 7 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f .R g ) .R h ) = ( f .R ( g .R h ) ) )
9190adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f .R g ) .R h ) = ( f .R ( g .R h ) ) )
92 mulclsr 7695 . . . . . . 7 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f .R g ) e. R. )
9392adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f .R g ) e. R. )
9445, 39, 8syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R w ) e. R. )
9574, 89, 91, 93, 33, 68, 34, 94, 35caovdilemd 6033 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( ( y .R w ) .R v ) ) ) )
96 mulasssrg 7699 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ v e. R. ) -> ( ( y .R w ) .R v ) = ( y .R ( w .R v ) ) )
9745, 39, 35, 96syl3anc 1228 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R w ) .R v ) = ( y .R ( w .R v ) ) )
9897oveq2d 5858 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) .R v ) ) = ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) )
9998oveq2d 5858 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( ( y .R w ) .R v ) ) ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) ) )
10095, 99eqtrd 2198 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) ) )
10174, 89, 91, 93, 45, 33, 34, 39, 40caovdilemd 6033 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) = ( ( y .R ( z .R u ) ) +R ( x .R ( w .R u ) ) ) )
102101oveq2d 5858 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) = ( -1R .R ( ( y .R ( z .R u ) ) +R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) )
10393, 33, 41caovcld 5995 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( w .R u ) ) e. R. )
104 distrsrg 7700 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R ( z .R u ) ) e. R. /\ ( x .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( -1R .R ( ( y .R ( z .R u ) ) +R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( -1R .R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) )
10568, 57, 103, 104syl3anc 1228 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R ( z .R u ) ) +R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( -1R .R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) )
10668, 33, 41, 74, 91caov12d 6023 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( x .R ( w .R u ) ) ) = ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) )
107106oveq2d 5858 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( -1R .R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
108102, 105, 1073eqtrd 2202 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
109100, 108oveq12d 5860 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) +R ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) ) = ( ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) ) )
11062, 72, 1093eqtr4rd 2209 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) +R ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) ) = ( ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) ) )
11193, 45, 36caovcld 5995 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( z .R v ) ) e. R. )
11293, 45, 42caovcld 5995 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
11393, 33, 46caovcld 5995 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( w .R v ) ) e. R. )
11493, 33, 55caovcld 5995 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( z .R u ) ) e. R. )
115111, 112, 113, 52, 54, 114, 61caov42d 6028 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( ( x .R ( w .R v ) ) +R ( x .R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( w .R v ) ) ) +R ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) ) )
116 distrsrg 7700 . . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ ( z .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
11745, 36, 42, 116syl3anc 1228 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
118 distrsrg 7700 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ ( w .R v ) e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) = ( ( x .R ( w .R v ) ) +R ( x .R ( z .R u ) ) ) )
11933, 46, 55, 118syl3anc 1228 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) = ( ( x .R ( w .R v ) ) +R ( x .R ( z .R u ) ) ) )
120117, 119oveq12d 5860 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( ( x .R ( w .R v ) ) +R ( x .R ( z .R u ) ) ) ) )
12174, 89, 91, 93, 45, 33, 34, 39, 35caovdilemd 6033 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R v ) = ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( w .R v ) ) ) )
12274, 89, 91, 93, 33, 68, 34, 94, 40caovdilemd 6033 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) = ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( -1R .R ( ( y .R w ) .R u ) ) ) )
123 mulasssrg 7699 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ u e. R. ) -> ( ( y .R w ) .R u ) = ( y .R ( w .R u ) ) )
12445, 39, 40, 123syl3anc 1228 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R w ) .R u ) = ( y .R ( w .R u ) ) )
125124oveq2d 5858 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) .R u ) ) = ( -1R .R ( y .R ( w .R u ) ) ) )
12668, 45, 41, 74, 91caov12d 6023 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( w .R u ) ) ) = ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) )
127125, 126eqtrd 2198 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) .R u ) ) = ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) )
128127oveq2d 5858 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( -1R .R ( ( y .R w ) .R u ) ) ) = ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
129122, 128eqtrd 2198 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) = ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
130121, 129oveq12d 5860 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R v ) +R ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) ) = ( ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( w .R v ) ) ) +R ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) ) )
131115, 120, 1303eqtr4rd 2209 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R v ) +R ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) ) = ( ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) )
1321, 2, 3, 4, 5, 19, 32, 110, 131ecoviass 6611 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. C ) = ( A x. ( B x. C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   _E cep 4265   `'ccnv 4603  (class class class)co 5842   R.cnr 7238   -1Rcm1r 7241   +R cplr 7242   .R cmr 7243   CCcc 7751   x. cmul 7758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-imp 7410  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-mr 7670  df-m1r 7674  df-c 7759  df-mul 7765
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