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Theorem axmulass 7705
Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulass 7747. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulass |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. C ) = ( A x. ( B x. C ) ) )
Proof of Theorem axmulass
Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 7673 . 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2 mulcnsrec 7675 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E )
3 mulcnsrec 7675 . 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E x. [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) , ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) >. ] `' _E )
4 mulcnsrec 7675 . 2 |- ( ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E x. [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) +R ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) ) , ( ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R v ) +R ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) ) >. ] `' _E )
5 mulcnsrec 7675 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) , ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) ) , ( ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) >. ] `' _E )
6 mulclsr 7586 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) e. R. )
7 m1r 7584 . . . . . 6 |- -1R e. R.
8 mulclsr 7586 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) e. R. )
9 mulclsr 7586 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
107, 8, 9sylancr 411 . . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
11 addclsr 7585 . . . . 5 |- ( ( ( x .R z ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
126, 10, 11syl2an 287 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ z e. R. ) /\ ( y e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
1312an4s 578 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
14 mulclsr 7586 . . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) e. R. )
15 mulclsr 7586 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) e. R. )
16 addclsr 7585 . . . . 5 |- ( ( ( y .R z ) e. R. /\ ( x .R w ) e. R. ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
1714, 15, 16syl2anr 288 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ w e. R. ) /\ ( y e. R. /\ z e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
1817an42s 579 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
1913, 18jca 304 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) )
20 mulclsr 7586 . . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ v e. R. ) -> ( z .R v ) e. R. )
21 mulclsr 7586 . . . . . 6 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( w .R u ) e. R. )
22 mulclsr 7586 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( w .R u ) e. R. ) -> ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. )
237, 21, 22sylancr 411 . . . . 5 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. )
24 addclsr 7585 . . . . 5 |- ( ( ( z .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
2520, 23, 24syl2an 287 . . . 4 |- ( ( ( z e. R. /\ v e. R. ) /\ ( w e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
2625an4s 578 . . 3 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
27 mulclsr 7586 . . . . 5 |- ( ( w e. R. /\ v e. R. ) -> ( w .R v ) e. R. )
28 mulclsr 7586 . . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ u e. R. ) -> ( z .R u ) e. R. )
29 addclsr 7585 . . . . 5 |- ( ( ( w .R v ) e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. )
3027, 28, 29syl2anr 288 . . . 4 |- ( ( ( z e. R. /\ u e. R. ) /\ ( w e. R. /\ v e. R. ) ) -> ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. )
3130an42s 579 . . 3 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. )
3226, 31jca 304 . 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. ) )
33 simp1l 1006 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> x e. R. )
34 simp2l 1008 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> z e. R. )
35 simp3l 1010 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> v e. R. )
3634, 35, 20syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( z .R v ) e. R. )
37 mulclsr 7586 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ ( z .R v ) e. R. ) -> ( x .R ( z .R v ) ) e. R. )
3833, 36, 37syl2anc 409 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( z .R v ) ) e. R. )
39 simp2r 1009 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> w e. R. )
40 simp3r 1011 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> u e. R. )
4139, 40, 21syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( w .R u ) e. R. )
427, 41, 22sylancr 411 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. )
43 mulclsr 7586 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
4433, 42, 43syl2anc 409 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
45 simp1r 1007 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> y e. R. )
4639, 35, 27syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( w .R v ) e. R. )
47 mulclsr 7586 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ ( w .R v ) e. R. ) -> ( y .R ( w .R v ) ) e. R. )
4845, 46, 47syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( w .R v ) ) e. R. )
49 mulclsr 7586 . . . . 5 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R ( w .R v ) ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) e. R. )
507, 48, 49sylancr 411 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) e. R. )
51 addcomsrg 7587 . . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
5251adantl 275 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
53 addasssrg 7588 . . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
5453adantl 275 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
5534, 40, 28syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( z .R u ) e. R. )
56 mulclsr 7586 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( y .R ( z .R u ) ) e. R. )
5745, 55, 56syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( z .R u ) ) e. R. )
58 mulclsr 7586 . . . . 5 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R ( z .R u ) ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) e. R. )
597, 57, 58sylancr 411 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) e. R. )
60 addclsr 7585 . . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) e. R. )
6160adantl 275 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) e. R. )
6238, 44, 50, 52, 54, 59, 61caov42d 5965 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) ) = ( ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) ) )
63 distrsrg 7591 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ ( z .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
6433, 36, 42, 63syl3anc 1217 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
65 distrsrg 7591 . . . . . . 7 |- ( ( y e. R. /\ ( w .R v ) e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) = ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) )
6645, 46, 55, 65syl3anc 1217 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) = ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) )
6766oveq2d 5798 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) = ( -1R .R ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) )
687a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> -1R e. R. )
69 distrsrg 7591 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R ( w .R v ) ) e. R. /\ ( y .R ( z .R u ) ) e. R. ) -> ( -1R .R ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) )
7068, 48, 57, 69syl3anc 1217 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) )
7167, 70eqtrd 2173 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) )
7264, 71oveq12d 5800 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) ) = ( ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) ) )
73 mulcomsrg 7589 . . . . . . 7 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f .R g ) = ( g .R f ) )
7473adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f .R g ) = ( g .R f ) )
75 distrsrg 7591 . . . . . . . . 9 |- ( ( h e. R. /\ f e. R. /\ g e. R. ) -> ( h .R ( f +R g ) ) = ( ( h .R f ) +R ( h .R g ) ) )
76753coml 1189 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( h .R ( f +R g ) ) = ( ( h .R f ) +R ( h .R g ) ) )
77 simp3 984 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> h e. R. )
78603adant3 1002 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f +R g ) e. R. )
79 mulcomsrg 7589 . . . . . . . . 9 |- ( ( h e. R. /\ ( f +R g ) e. R. ) -> ( h .R ( f +R g ) ) = ( ( f +R g ) .R h ) )
8077, 78, 79syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( h .R ( f +R g ) ) = ( ( f +R g ) .R h ) )
81 simp1 982 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> f e. R. )
82 mulcomsrg 7589 . . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. R. /\ f e. R. ) -> ( h .R f ) = ( f .R h ) )
8377, 81, 82syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( h .R f ) = ( f .R h ) )
84 simp2 983 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> g e. R. )
85 mulcomsrg 7589 . . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. R. /\ g e. R. ) -> ( h .R g ) = ( g .R h ) )
8677, 84, 85syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( h .R g ) = ( g .R h ) )
8783, 86oveq12d 5800 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( h .R f ) +R ( h .R g ) ) = ( ( f .R h ) +R ( g .R h ) ) )
8876, 80, 873eqtr3d 2181 . . . . . . 7 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) .R h ) = ( ( f .R h ) +R ( g .R h ) ) )
8988adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) .R h ) = ( ( f .R h ) +R ( g .R h ) ) )
90 mulasssrg 7590 . . . . . . 7 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f .R g ) .R h ) = ( f .R ( g .R h ) ) )
9190adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f .R g ) .R h ) = ( f .R ( g .R h ) ) )
92 mulclsr 7586 . . . . . . 7 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f .R g ) e. R. )
9392adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f .R g ) e. R. )
9445, 39, 8syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R w ) e. R. )
9574, 89, 91, 93, 33, 68, 34, 94, 35caovdilemd 5970 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( ( y .R w ) .R v ) ) ) )
96 mulasssrg 7590 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ v e. R. ) -> ( ( y .R w ) .R v ) = ( y .R ( w .R v ) ) )
9745, 39, 35, 96syl3anc 1217 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R w ) .R v ) = ( y .R ( w .R v ) ) )
9897oveq2d 5798 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) .R v ) ) = ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) )
9998oveq2d 5798 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( ( y .R w ) .R v ) ) ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) ) )
10095, 99eqtrd 2173 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) ) )
10174, 89, 91, 93, 45, 33, 34, 39, 40caovdilemd 5970 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) = ( ( y .R ( z .R u ) ) +R ( x .R ( w .R u ) ) ) )
102101oveq2d 5798 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) = ( -1R .R ( ( y .R ( z .R u ) ) +R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) )
10393, 33, 41caovcld 5932 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( w .R u ) ) e. R. )
104 distrsrg 7591 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R ( z .R u ) ) e. R. /\ ( x .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( -1R .R ( ( y .R ( z .R u ) ) +R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( -1R .R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) )
10568, 57, 103, 104syl3anc 1217 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R ( z .R u ) ) +R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( -1R .R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) )
10668, 33, 41, 74, 91caov12d 5960 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( x .R ( w .R u ) ) ) = ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) )
107106oveq2d 5798 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( -1R .R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
108102, 105, 1073eqtrd 2177 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
109100, 108oveq12d 5800 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) +R ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) ) = ( ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) ) )
11062, 72, 1093eqtr4rd 2184 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) +R ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) ) = ( ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) ) )
11193, 45, 36caovcld 5932 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( z .R v ) ) e. R. )
11293, 45, 42caovcld 5932 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
11393, 33, 46caovcld 5932 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( w .R v ) ) e. R. )
11493, 33, 55caovcld 5932 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( z .R u ) ) e. R. )
115111, 112, 113, 52, 54, 114, 61caov42d 5965 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( ( x .R ( w .R v ) ) +R ( x .R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( w .R v ) ) ) +R ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) ) )
116 distrsrg 7591 . . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ ( z .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
11745, 36, 42, 116syl3anc 1217 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
118 distrsrg 7591 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ ( w .R v ) e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) = ( ( x .R ( w .R v ) ) +R ( x .R ( z .R u ) ) ) )
11933, 46, 55, 118syl3anc 1217 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) = ( ( x .R ( w .R v ) ) +R ( x .R ( z .R u ) ) ) )
120117, 119oveq12d 5800 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( ( x .R ( w .R v ) ) +R ( x .R ( z .R u ) ) ) ) )
12174, 89, 91, 93, 45, 33, 34, 39, 35caovdilemd 5970 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R v ) = ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( w .R v ) ) ) )
12274, 89, 91, 93, 33, 68, 34, 94, 40caovdilemd 5970 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) = ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( -1R .R ( ( y .R w ) .R u ) ) ) )
123 mulasssrg 7590 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ u e. R. ) -> ( ( y .R w ) .R u ) = ( y .R ( w .R u ) ) )
12445, 39, 40, 123syl3anc 1217 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R w ) .R u ) = ( y .R ( w .R u ) ) )
125124oveq2d 5798 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) .R u ) ) = ( -1R .R ( y .R ( w .R u ) ) ) )
12668, 45, 41, 74, 91caov12d 5960 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( w .R u ) ) ) = ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) )
127125, 126eqtrd 2173 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) .R u ) ) = ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) )
128127oveq2d 5798 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( -1R .R ( ( y .R w ) .R u ) ) ) = ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
129122, 128eqtrd 2173 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) = ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
130121, 129oveq12d 5800 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R v ) +R ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) ) = ( ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( w .R v ) ) ) +R ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) ) )
131115, 120, 1303eqtr4rd 2184 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R v ) +R ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) ) = ( ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) )
1321, 2, 3, 4, 5, 19, 32, 110, 131ecoviass 6547 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. C ) = ( A x. ( B x. C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   _E cep 4217   `'ccnv 4546  (class class class)co 5782   R.cnr 7129   -1Rcm1r 7132   +R cplr 7133   .R cmr 7134   CCcc 7642   x. cmul 7649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-lti 7139  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183  df-rq 7184  df-ltnqqs 7185  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-0nq0 7258  df-plq0 7259  df-mq0 7260  df-inp 7298  df-i1p 7299  df-iplp 7300  df-imp 7301  df-enr 7558  df-nr 7559  df-plr 7560  df-mr 7561  df-m1r 7565  df-c 7650  df-mul 7656
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