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Theorem axmulass 8136
Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulass 8178. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulass |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. C ) = ( A x. ( B x. C ) ) )
Proof of Theorem axmulass
Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 8104 . 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2 mulcnsrec 8106 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E )
3 mulcnsrec 8106 . 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E x. [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) , ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) >. ] `' _E )
4 mulcnsrec 8106 . 2 |- ( ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E x. [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) +R ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) ) , ( ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R v ) +R ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) ) >. ] `' _E )
5 mulcnsrec 8106 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) , ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) ) , ( ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) >. ] `' _E )
6 mulclsr 8017 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) e. R. )
7 m1r 8015 . . . . . 6 |- -1R e. R.
8 mulclsr 8017 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) e. R. )
9 mulclsr 8017 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
107, 8, 9sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
11 addclsr 8016 . . . . 5 |- ( ( ( x .R z ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
126, 10, 11syl2an 289 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ z e. R. ) /\ ( y e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
1312an4s 592 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
14 mulclsr 8017 . . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) e. R. )
15 mulclsr 8017 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) e. R. )
16 addclsr 8016 . . . . 5 |- ( ( ( y .R z ) e. R. /\ ( x .R w ) e. R. ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
1714, 15, 16syl2anr 290 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ w e. R. ) /\ ( y e. R. /\ z e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
1817an42s 593 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
1913, 18jca 306 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) )
20 mulclsr 8017 . . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ v e. R. ) -> ( z .R v ) e. R. )
21 mulclsr 8017 . . . . . 6 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( w .R u ) e. R. )
22 mulclsr 8017 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( w .R u ) e. R. ) -> ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. )
237, 21, 22sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. )
24 addclsr 8016 . . . . 5 |- ( ( ( z .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
2520, 23, 24syl2an 289 . . . 4 |- ( ( ( z e. R. /\ v e. R. ) /\ ( w e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
2625an4s 592 . . 3 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
27 mulclsr 8017 . . . . 5 |- ( ( w e. R. /\ v e. R. ) -> ( w .R v ) e. R. )
28 mulclsr 8017 . . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ u e. R. ) -> ( z .R u ) e. R. )
29 addclsr 8016 . . . . 5 |- ( ( ( w .R v ) e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. )
3027, 28, 29syl2anr 290 . . . 4 |- ( ( ( z e. R. /\ u e. R. ) /\ ( w e. R. /\ v e. R. ) ) -> ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. )
3130an42s 593 . . 3 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. )
3226, 31jca 306 . 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. ) )
33 simp1l 1048 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> x e. R. )
34 simp2l 1050 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> z e. R. )
35 simp3l 1052 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> v e. R. )
3634, 35, 20syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( z .R v ) e. R. )
37 mulclsr 8017 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ ( z .R v ) e. R. ) -> ( x .R ( z .R v ) ) e. R. )
3833, 36, 37syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( z .R v ) ) e. R. )
39 simp2r 1051 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> w e. R. )
40 simp3r 1053 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> u e. R. )
4139, 40, 21syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( w .R u ) e. R. )
427, 41, 22sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. )
43 mulclsr 8017 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
4433, 42, 43syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
45 simp1r 1049 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> y e. R. )
4639, 35, 27syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( w .R v ) e. R. )
47 mulclsr 8017 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ ( w .R v ) e. R. ) -> ( y .R ( w .R v ) ) e. R. )
4845, 46, 47syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( w .R v ) ) e. R. )
49 mulclsr 8017 . . . . 5 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R ( w .R v ) ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) e. R. )
507, 48, 49sylancr 414 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) e. R. )
51 addcomsrg 8018 . . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
5251adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
53 addasssrg 8019 . . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
5453adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
5534, 40, 28syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( z .R u ) e. R. )
56 mulclsr 8017 . . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( y .R ( z .R u ) ) e. R. )
5745, 55, 56syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( z .R u ) ) e. R. )
58 mulclsr 8017 . . . . 5 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R ( z .R u ) ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) e. R. )
597, 57, 58sylancr 414 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) e. R. )
60 addclsr 8016 . . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) e. R. )
6160adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) e. R. )
6238, 44, 50, 52, 54, 59, 61caov42d 6219 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) ) = ( ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) ) )
63 distrsrg 8022 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ ( z .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
6433, 36, 42, 63syl3anc 1274 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
65 distrsrg 8022 . . . . . . 7 |- ( ( y e. R. /\ ( w .R v ) e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) = ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) )
6645, 46, 55, 65syl3anc 1274 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) = ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) )
6766oveq2d 6044 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) = ( -1R .R ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) )
687a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> -1R e. R. )
69 distrsrg 8022 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R ( w .R v ) ) e. R. /\ ( y .R ( z .R u ) ) e. R. ) -> ( -1R .R ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) )
7068, 48, 57, 69syl3anc 1274 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R ( w .R v ) ) +R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) )
7167, 70eqtrd 2264 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) )
7264, 71oveq12d 6046 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) ) = ( ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) ) ) )
73 mulcomsrg 8020 . . . . . . 7 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f .R g ) = ( g .R f ) )
7473adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f .R g ) = ( g .R f ) )
75 distrsrg 8022 . . . . . . . . 9 |- ( ( h e. R. /\ f e. R. /\ g e. R. ) -> ( h .R ( f +R g ) ) = ( ( h .R f ) +R ( h .R g ) ) )
76753coml 1237 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( h .R ( f +R g ) ) = ( ( h .R f ) +R ( h .R g ) ) )
77 simp3 1026 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> h e. R. )
78603adant3 1044 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f +R g ) e. R. )
79 mulcomsrg 8020 . . . . . . . . 9 |- ( ( h e. R. /\ ( f +R g ) e. R. ) -> ( h .R ( f +R g ) ) = ( ( f +R g ) .R h ) )
8077, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( h .R ( f +R g ) ) = ( ( f +R g ) .R h ) )
81 simp1 1024 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> f e. R. )
82 mulcomsrg 8020 . . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. R. /\ f e. R. ) -> ( h .R f ) = ( f .R h ) )
8377, 81, 82syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( h .R f ) = ( f .R h ) )
84 simp2 1025 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> g e. R. )
85 mulcomsrg 8020 . . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. R. /\ g e. R. ) -> ( h .R g ) = ( g .R h ) )
8677, 84, 85syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( h .R g ) = ( g .R h ) )
8783, 86oveq12d 6046 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( h .R f ) +R ( h .R g ) ) = ( ( f .R h ) +R ( g .R h ) ) )
8876, 80, 873eqtr3d 2272 . . . . . . 7 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) .R h ) = ( ( f .R h ) +R ( g .R h ) ) )
8988adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) .R h ) = ( ( f .R h ) +R ( g .R h ) ) )
90 mulasssrg 8021 . . . . . . 7 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f .R g ) .R h ) = ( f .R ( g .R h ) ) )
9190adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f .R g ) .R h ) = ( f .R ( g .R h ) ) )
92 mulclsr 8017 . . . . . . 7 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f .R g ) e. R. )
9392adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f .R g ) e. R. )
9445, 39, 8syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R w ) e. R. )
9574, 89, 91, 93, 33, 68, 34, 94, 35caovdilemd 6224 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( ( y .R w ) .R v ) ) ) )
96 mulasssrg 8021 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ v e. R. ) -> ( ( y .R w ) .R v ) = ( y .R ( w .R v ) ) )
9745, 39, 35, 96syl3anc 1274 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R w ) .R v ) = ( y .R ( w .R v ) ) )
9897oveq2d 6044 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) .R v ) ) = ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) )
9998oveq2d 6044 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( ( y .R w ) .R v ) ) ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) ) )
10095, 99eqtrd 2264 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) = ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) ) )
10174, 89, 91, 93, 45, 33, 34, 39, 40caovdilemd 6224 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) = ( ( y .R ( z .R u ) ) +R ( x .R ( w .R u ) ) ) )
102101oveq2d 6044 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) = ( -1R .R ( ( y .R ( z .R u ) ) +R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) )
10393, 33, 41caovcld 6186 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( w .R u ) ) e. R. )
104 distrsrg 8022 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R ( z .R u ) ) e. R. /\ ( x .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( -1R .R ( ( y .R ( z .R u ) ) +R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( -1R .R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) )
10568, 57, 103, 104syl3anc 1274 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R ( z .R u ) ) +R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( -1R .R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) )
10668, 33, 41, 74, 91caov12d 6214 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( x .R ( w .R u ) ) ) = ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) )
107106oveq2d 6044 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( -1R .R ( x .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
108102, 105, 1073eqtrd 2268 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) = ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
109100, 108oveq12d 6046 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) +R ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) ) = ( ( ( x .R ( z .R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w .R v ) ) ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R ( z .R u ) ) ) +R ( x .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) ) )
11062, 72, 1093eqtr4rd 2275 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R v ) +R ( -1R .R ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R u ) ) ) = ( ( x .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) ) )
11193, 45, 36caovcld 6186 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( z .R v ) ) e. R. )
11293, 45, 42caovcld 6186 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
11393, 33, 46caovcld 6186 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( w .R v ) ) e. R. )
11493, 33, 55caovcld 6186 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( z .R u ) ) e. R. )
115111, 112, 113, 52, 54, 114, 61caov42d 6219 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( ( x .R ( w .R v ) ) +R ( x .R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( w .R v ) ) ) +R ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) ) )
116 distrsrg 8022 . . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ ( z .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
11745, 36, 42, 116syl3anc 1274 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) = ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
118 distrsrg 8022 . . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ ( w .R v ) e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) = ( ( x .R ( w .R v ) ) +R ( x .R ( z .R u ) ) ) )
11933, 46, 55, 118syl3anc 1274 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) = ( ( x .R ( w .R v ) ) +R ( x .R ( z .R u ) ) ) )
120117, 119oveq12d 6046 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) = ( ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( ( x .R ( w .R v ) ) +R ( x .R ( z .R u ) ) ) ) )
12174, 89, 91, 93, 45, 33, 34, 39, 35caovdilemd 6224 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R v ) = ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( w .R v ) ) ) )
12274, 89, 91, 93, 33, 68, 34, 94, 40caovdilemd 6224 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) = ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( -1R .R ( ( y .R w ) .R u ) ) ) )
123 mulasssrg 8021 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ u e. R. ) -> ( ( y .R w ) .R u ) = ( y .R ( w .R u ) ) )
12445, 39, 40, 123syl3anc 1274 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R w ) .R u ) = ( y .R ( w .R u ) ) )
125124oveq2d 6044 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) .R u ) ) = ( -1R .R ( y .R ( w .R u ) ) ) )
12668, 45, 41, 74, 91caov12d 6214 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( w .R u ) ) ) = ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) )
127125, 126eqtrd 2264 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) .R u ) ) = ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) )
128127oveq2d 6044 . . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( -1R .R ( ( y .R w ) .R u ) ) ) = ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
129122, 128eqtrd 2264 . . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) = ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) )
130121, 129oveq12d 6046 . . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R v ) +R ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) ) = ( ( ( y .R ( z .R v ) ) +R ( x .R ( w .R v ) ) ) +R ( ( x .R ( z .R u ) ) +R ( y .R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) ) )
131115, 120, 1303eqtr4rd 2275 . 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) .R v ) +R ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) .R u ) ) = ( ( y .R ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) ) +R ( x .R ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) ) ) )
1321, 2, 3, 4, 5, 19, 32, 110, 131ecoviass 6857 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. C ) = ( A x. ( B x. C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   _E cep 4390   `'ccnv 4730  (class class class)co 6028   R.cnr 7560   -1Rcm1r 7563   +R cplr 7564   .R cmr 7565   CCcc 8073   x. cmul 8080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616  df-enq0 7687  df-nq0 7688  df-0nq0 7689  df-plq0 7690  df-mq0 7691  df-inp 7729  df-i1p 7730  df-iplp 7731  df-imp 7732  df-enr 7989  df-nr 7990  df-plr 7991  df-mr 7992  df-m1r 7996  df-c 8081  df-mul 8087
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