ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulcl Unicode version
Theorem axmulcl 7828
Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcl 7872 be used later. Instead, in most cases use mulcl 7901. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcl |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
Proof of Theorem axmulcl
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4627 . . . . 5 |- ( A e. ( R. X. R. ) -> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) )
2 df-c 7780 . . . . 5 |- CC = ( R. X. R. )
31, 2eleq2s 2265 . . . 4 |- ( A e. CC -> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) )
4 elxpi 4627 . . . . 5 |- ( B e. ( R. X. R. ) -> E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) )
54, 2eleq2s 2265 . . . 4 |- ( B e. CC -> E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) )
63, 5anim12i 336 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
7 ee4anv 1927 . . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) <-> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
86, 7sylibr 133 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
9 simpll 524 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> A = <. x , y >. )
10 simprl 526 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> B = <. z , w >. )
119, 10oveq12d 5871 . . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) = ( <. x , y >. x. <. z , w >. ) )
12 mulcnsr 7797 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. x , y >. x. <. z , w >. ) = <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. )
1312ad2ant2l 505 . . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( <. x , y >. x. <. z , w >. ) = <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. )
1411, 13eqtrd 2203 . . . . 5 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) = <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. )
15 simplrl 530 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> x e. R. )
16 simprrl 534 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> z e. R. )
17 mulclsr 7716 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) e. R. )
1815, 16, 17syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( x .R z ) e. R. )
19 m1r 7714 . . . . . . . . . 10 |- -1R e. R.
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> -1R e. R. )
21 simplrr 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> y e. R. )
22 simprrr 535 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> w e. R. )
23 mulclsr 7716 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) e. R. )
2421, 22, 23syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( y .R w ) e. R. )
25 mulclsr 7716 . . . . . . . . 9 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
2620, 24, 25syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
27 addclsr 7715 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x .R z ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
2818, 26, 27syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
29 mulclsr 7716 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) e. R. )
3021, 16, 29syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( y .R z ) e. R. )
31 mulclsr 7716 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) e. R. )
3215, 22, 31syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( x .R w ) e. R. )
33 addclsr 7715 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y .R z ) e. R. /\ ( x .R w ) e. R. ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
3430, 32, 33syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
35 opelxpi 4643 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) -> <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
3628, 34, 35syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
3736, 2eleqtrrdi 2264 . . . . 5 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. e. CC )
3814, 37eqeltrd 2247 . . . 4 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
3938exlimivv 1889 . . 3 |- ( E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
4039exlimivv 1889 . 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
418, 40syl 14 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   <.cop 3586   X. cxp 4609  (class class class)co 5853   R.cnr 7259   -1Rcm1r 7262   +R cplr 7263   .R cmr 7264   CCcc 7772   x. cmul 7779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-imp 7431  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-mr 7691  df-m1r 7695  df-c 7780  df-mul 7786
This theorem is referenced by:  axmulf  7831
  Copyright terms: Public domain W3C validator