ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulcl Unicode version
Theorem axmulcl 7401
Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcl 7441 be used later. Instead, in most cases use mulcl 7467. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcl |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
Proof of Theorem axmulcl
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4454 . . . . 5 |- ( A e. ( R. X. R. ) -> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) )
2 df-c 7354 . . . . 5 |- CC = ( R. X. R. )
31, 2eleq2s 2182 . . . 4 |- ( A e. CC -> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) )
4 elxpi 4454 . . . . 5 |- ( B e. ( R. X. R. ) -> E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) )
54, 2eleq2s 2182 . . . 4 |- ( B e. CC -> E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) )
63, 5anim12i 331 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
7 ee4anv 1857 . . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) <-> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
86, 7sylibr 132 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
9 simpll 496 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> A = <. x , y >. )
10 simprl 498 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> B = <. z , w >. )
119, 10oveq12d 5670 . . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) = ( <. x , y >. x. <. z , w >. ) )
12 mulcnsr 7370 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. x , y >. x. <. z , w >. ) = <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. )
1312ad2ant2l 492 . . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( <. x , y >. x. <. z , w >. ) = <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. )
1411, 13eqtrd 2120 . . . . 5 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) = <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. )
15 simplrl 502 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> x e. R. )
16 simprrl 506 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> z e. R. )
17 mulclsr 7298 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) e. R. )
1815, 16, 17syl2anc 403 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( x .R z ) e. R. )
19 m1r 7296 . . . . . . . . . 10 |- -1R e. R.
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> -1R e. R. )
21 simplrr 503 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> y e. R. )
22 simprrr 507 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> w e. R. )
23 mulclsr 7298 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) e. R. )
2421, 22, 23syl2anc 403 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( y .R w ) e. R. )
25 mulclsr 7298 . . . . . . . . 9 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
2620, 24, 25syl2anc 403 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
27 addclsr 7297 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x .R z ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
2818, 26, 27syl2anc 403 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
29 mulclsr 7298 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) e. R. )
3021, 16, 29syl2anc 403 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( y .R z ) e. R. )
31 mulclsr 7298 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) e. R. )
3215, 22, 31syl2anc 403 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( x .R w ) e. R. )
33 addclsr 7297 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y .R z ) e. R. /\ ( x .R w ) e. R. ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
3430, 32, 33syl2anc 403 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
35 opelxpi 4469 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) -> <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
3628, 34, 35syl2anc 403 . . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
3736, 2syl6eleqr 2181 . . . . 5 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. e. CC )
3814, 37eqeltrd 2164 . . . 4 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
3938exlimivv 1824 . . 3 |- ( E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
4039exlimivv 1824 . 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
418, 40syl 14 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   <.cop 3449   X. cxp 4436  (class class class)co 5652   R.cnr 6854   -1Rcm1r 6857   +R cplr 6858   .R cmr 6859   CCcc 7346   x. cmul 7353
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6290  df-ec 6292  df-qs 6296  df-ni 6861  df-pli 6862  df-mi 6863  df-lti 6864  df-plpq 6901  df-mpq 6902  df-enq 6904  df-nqqs 6905  df-plqqs 6906  df-mqqs 6907  df-1nqqs 6908  df-rq 6909  df-ltnqqs 6910  df-enq0 6981  df-nq0 6982  df-0nq0 6983  df-plq0 6984  df-mq0 6985  df-inp 7023  df-i1p 7024  df-iplp 7025  df-imp 7026  df-enr 7270  df-nr 7271  df-plr 7272  df-mr 7273  df-m1r 7277  df-c 7354  df-mul 7360
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator