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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > axmulcl | Unicode version |
Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcl 7441 be used later. Instead, in most cases use mulcl 7467. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
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axmulcl |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elxpi 4454 |
. . . . 5
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2 | df-c 7354 |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | eleq2s 2182 |
. . . 4
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4 | elxpi 4454 |
. . . . 5
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5 | 4, 2 | eleq2s 2182 |
. . . 4
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6 | 3, 5 | anim12i 331 |
. . 3
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7 | ee4anv 1857 |
. . 3
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8 | 6, 7 | sylibr 132 |
. 2
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9 | simpll 496 |
. . . . . . 7
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10 | simprl 498 |
. . . . . . 7
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11 | 9, 10 | oveq12d 5670 |
. . . . . 6
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12 | mulcnsr 7370 |
. . . . . . 7
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13 | 12 | ad2ant2l 492 |
. . . . . 6
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14 | 11, 13 | eqtrd 2120 |
. . . . 5
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15 | simplrl 502 |
. . . . . . . . 9
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16 | simprrl 506 |
. . . . . . . . 9
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17 | mulclsr 7298 |
. . . . . . . . 9
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18 | 15, 16, 17 | syl2anc 403 |
. . . . . . . 8
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19 | m1r 7296 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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21 | simplrr 503 |
. . . . . . . . . 10
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22 | simprrr 507 |
. . . . . . . . . 10
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23 | mulclsr 7298 |
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24 | 21, 22, 23 | syl2anc 403 |
. . . . . . . . 9
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. . . . . . . . 9
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26 | 20, 24, 25 | syl2anc 403 |
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27 | addclsr 7297 |
. . . . . . . 8
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28 | 18, 26, 27 | syl2anc 403 |
. . . . . . 7
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29 | mulclsr 7298 |
. . . . . . . . 9
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30 | 21, 16, 29 | syl2anc 403 |
. . . . . . . 8
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31 | mulclsr 7298 |
. . . . . . . . 9
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32 | 15, 22, 31 | syl2anc 403 |
. . . . . . . 8
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33 | addclsr 7297 |
. . . . . . . 8
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34 | 30, 32, 33 | syl2anc 403 |
. . . . . . 7
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35 | opelxpi 4469 |
. . . . . . 7
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36 | 28, 34, 35 | syl2anc 403 |
. . . . . 6
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37 | 36, 2 | syl6eleqr 2181 |
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38 | 14, 37 | eqeltrd 2164 |
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39 | 38 | exlimivv 1824 |
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40 | 39 | exlimivv 1824 |
. 2
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41 | 8, 40 | syl 14 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 579 ax-in2 580 ax-io 665 ax-5 1381 ax-7 1382 ax-gen 1383 ax-ie1 1427 ax-ie2 1428 ax-8 1440 ax-10 1441 ax-11 1442 ax-i12 1443 ax-bndl 1444 ax-4 1445 ax-13 1449 ax-14 1450 ax-17 1464 ax-i9 1468 ax-ial 1472 ax-i5r 1473 ax-ext 2070 ax-coll 3954 ax-sep 3957 ax-nul 3965 ax-pow 4009 ax-pr 4036 ax-un 4260 ax-setind 4353 ax-iinf 4403 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 781 df-3or 925 df-3an 926 df-tru 1292 df-fal 1295 df-nf 1395 df-sb 1693 df-eu 1951 df-mo 1952 df-clab 2075 df-cleq 2081 df-clel 2084 df-nfc 2217 df-ne 2256 df-ral 2364 df-rex 2365 df-reu 2366 df-rab 2368 df-v 2621 df-sbc 2841 df-csb 2934 df-dif 3001 df-un 3003 df-in 3005 df-ss 3012 df-nul 3287 df-pw 3431 df-sn 3452 df-pr 3453 df-op 3455 df-uni 3654 df-int 3689 df-iun 3732 df-br 3846 df-opab 3900 df-mpt 3901 df-tr 3937 df-eprel 4116 df-id 4120 df-po 4123 df-iso 4124 df-iord 4193 df-on 4195 df-suc 4198 df-iom 4406 df-xp 4444 df-rel 4445 df-cnv 4446 df-co 4447 df-dm 4448 df-rn 4449 df-res 4450 df-ima 4451 df-iota 4980 df-fun 5017 df-fn 5018 df-f 5019 df-f1 5020 df-fo 5021 df-f1o 5022 df-fv 5023 df-ov 5655 df-oprab 5656 df-mpt2 5657 df-1st 5911 df-2nd 5912 df-recs 6070 df-irdg 6135 df-1o 6181 df-2o 6182 df-oadd 6185 df-omul 6186 df-er 6290 df-ec 6292 df-qs 6296 df-ni 6861 df-pli 6862 df-mi 6863 df-lti 6864 df-plpq 6901 df-mpq 6902 df-enq 6904 df-nqqs 6905 df-plqqs 6906 df-mqqs 6907 df-1nqqs 6908 df-rq 6909 df-ltnqqs 6910 df-enq0 6981 df-nq0 6982 df-0nq0 6983 df-plq0 6984 df-mq0 6985 df-inp 7023 df-i1p 7024 df-iplp 7025 df-imp 7026 df-enr 7270 df-nr 7271 df-plr 7272 df-mr 7273 df-m1r 7277 df-c 7354 df-mul 7360 |
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