ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulcl Unicode version
Theorem axmulcl 7999
Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcl 8043 be used later. Instead, in most cases use mulcl 8072. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcl |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
Proof of Theorem axmulcl
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4699 . . . . 5 |- ( A e. ( R. X. R. ) -> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) )
2 df-c 7951 . . . . 5 |- CC = ( R. X. R. )
31, 2eleq2s 2301 . . . 4 |- ( A e. CC -> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) )
4 elxpi 4699 . . . . 5 |- ( B e. ( R. X. R. ) -> E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) )
54, 2eleq2s 2301 . . . 4 |- ( B e. CC -> E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) )
63, 5anim12i 338 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
7 ee4anv 1963 . . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) <-> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
86, 7sylibr 134 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
9 simpll 527 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> A = <. x , y >. )
10 simprl 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> B = <. z , w >. )
119, 10oveq12d 5975 . . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) = ( <. x , y >. x. <. z , w >. ) )
12 mulcnsr 7968 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. x , y >. x. <. z , w >. ) = <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. )
1312ad2ant2l 508 . . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( <. x , y >. x. <. z , w >. ) = <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. )
1411, 13eqtrd 2239 . . . . 5 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) = <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. )
15 simplrl 535 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> x e. R. )
16 simprrl 539 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> z e. R. )
17 mulclsr 7887 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) e. R. )
1815, 16, 17syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( x .R z ) e. R. )
19 m1r 7885 . . . . . . . . . 10 |- -1R e. R.
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> -1R e. R. )
21 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> y e. R. )
22 simprrr 540 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> w e. R. )
23 mulclsr 7887 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) e. R. )
2421, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( y .R w ) e. R. )
25 mulclsr 7887 . . . . . . . . 9 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
2620, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
27 addclsr 7886 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x .R z ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
2818, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
29 mulclsr 7887 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) e. R. )
3021, 16, 29syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( y .R z ) e. R. )
31 mulclsr 7887 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) e. R. )
3215, 22, 31syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( x .R w ) e. R. )
33 addclsr 7886 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y .R z ) e. R. /\ ( x .R w ) e. R. ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
3430, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
35 opelxpi 4715 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) -> <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
3628, 34, 35syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
3736, 2eleqtrrdi 2300 . . . . 5 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. e. CC )
3814, 37eqeltrd 2283 . . . 4 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
3938exlimivv 1921 . . 3 |- ( E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
4039exlimivv 1921 . 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
418, 40syl 14 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   <.cop 3641   X. cxp 4681  (class class class)co 5957   R.cnr 7430   -1Rcm1r 7433   +R cplr 7434   .R cmr 7435   CCcc 7943   x. cmul 7950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-eprel 4344  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-1o 6515  df-2o 6516  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-pli 7438  df-mi 7439  df-lti 7440  df-plpq 7477  df-mpq 7478  df-enq 7480  df-nqqs 7481  df-plqqs 7482  df-mqqs 7483  df-1nqqs 7484  df-rq 7485  df-ltnqqs 7486  df-enq0 7557  df-nq0 7558  df-0nq0 7559  df-plq0 7560  df-mq0 7561  df-inp 7599  df-i1p 7600  df-iplp 7601  df-imp 7602  df-enr 7859  df-nr 7860  df-plr 7861  df-mr 7862  df-m1r 7866  df-c 7951  df-mul 7957
This theorem is referenced by:  axmulf  8002
  Copyright terms: Public domain W3C validator