ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulcl Unicode version
Theorem axmulcl 8223
Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcl 8267 be used later. Instead, in most cases use mulcl 8296. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcl |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
Proof of Theorem axmulcl
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4785 . . . . 5 |- ( A e. ( R. X. R. ) -> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) )
2 df-c 8175 . . . . 5 |- CC = ( R. X. R. )
31, 2eleq2s 2333 . . . 4 |- ( A e. CC -> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) )
4 elxpi 4785 . . . . 5 |- ( B e. ( R. X. R. ) -> E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) )
54, 2eleq2s 2333 . . . 4 |- ( B e. CC -> E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) )
63, 5anim12i 338 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
7 ee4anv 1994 . . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) <-> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ E. z E. w ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
86, 7sylibr 134 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) )
9 simpll 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> A = <. x , y >. )
10 simprl 535 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> B = <. z , w >. )
119, 10oveq12d 6093 . . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) = ( <. x , y >. x. <. z , w >. ) )
12 mulcnsr 8192 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. x , y >. x. <. z , w >. ) = <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. )
1312ad2ant2l 512 . . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( <. x , y >. x. <. z , w >. ) = <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. )
1411, 13eqtrd 2271 . . . . 5 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) = <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. )
15 simplrl 541 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> x e. R. )
16 simprrl 545 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> z e. R. )
17 mulclsr 8111 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) e. R. )
1815, 16, 17syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( x .R z ) e. R. )
19 m1r 8109 . . . . . . . . . 10 |- -1R e. R.
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> -1R e. R. )
21 simplrr 542 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> y e. R. )
22 simprrr 546 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> w e. R. )
23 mulclsr 8111 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) e. R. )
2421, 22, 23syl2anc 415 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( y .R w ) e. R. )
25 mulclsr 8111 . . . . . . . . 9 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
2620, 24, 25syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
27 addclsr 8110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x .R z ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
2818, 26, 27syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
29 mulclsr 8111 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) e. R. )
3021, 16, 29syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( y .R z ) e. R. )
31 mulclsr 8111 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) e. R. )
3215, 22, 31syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( x .R w ) e. R. )
33 addclsr 8110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y .R z ) e. R. /\ ( x .R w ) e. R. ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
3430, 32, 33syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
35 opelxpi 4801 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) -> <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
3628, 34, 35syl2anc 415 . . . . . 6 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
3736, 2eleqtrrdi 2332 . . . . 5 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. e. CC )
3814, 37eqeltrd 2315 . . . 4 |- ( ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
3938exlimivv 1952 . . 3 |- ( E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
4039exlimivv 1952 . 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) /\ ( B = <. z , w >. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
418, 40syl 14 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   <.cop 3708   X. cxp 4767  (class class class)co 6075   R.cnr 7654   -1Rcm1r 7657   +R cplr 7658   .R cmr 7659   CCcc 8167   x. cmul 8174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-iplp 7825  df-imp 7826  df-enr 8083  df-nr 8084  df-plr 8085  df-mr 8086  df-m1r 8090  df-c 8175  df-mul 8181
This theorem is referenced by:  axmulf  8226
  Copyright terms: Public domain W3C validator