ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulcl Unicode version

Theorem axmulcl 7895
Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcl 7939 be used later. Instead, in most cases use mulcl 7968. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem axmulcl
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4660 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R.  X.  R. )  ->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
) )
2 df-c 7847 . . . . 5  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
31, 2eleq2s 2284 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
) )
4 elxpi 4660 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( R.  X.  R. )  ->  E. z E. w ( B  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
) )
54, 2eleq2s 2284 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  E. z E. w ( B  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
) )
63, 5anim12i 338 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  E. z E. w ( B  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
) ) )
7 ee4anv 1946 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  <->  ( E. x E. y ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. ) )  /\  E. z E. w ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) ) )
86, 7sylibr 134 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  E. x E. y E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) ) )
9 simpll 527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  A  =  <. x ,  y >. )
10 simprl 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  B  =  <. z ,  w >. )
119, 10oveq12d 5914 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  x.  B
)  =  ( <.
x ,  y >.  x.  <. z ,  w >. ) )
12 mulcnsr 7864 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. x ,  y >.  x.  <. z ,  w >. )  =  <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. )
1312ad2ant2l 508 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  x.  <. z ,  w >. )  =  <. (
( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >. )
1411, 13eqtrd 2222 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  x.  B
)  =  <. (
( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >. )
15 simplrl 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  x  e.  R. )
16 simprrl 539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
z  e.  R. )
17 mulclsr 7783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  .R  z
)  e.  R. )
1815, 16, 17syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( x  .R  z
)  e.  R. )
19 m1r 7781 . . . . . . . . . 10  |-  -1R  e.  R.
2019a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  -1R  e.  R. )
21 simplrr 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
y  e.  R. )
22 simprrr 540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  w  e.  R. )
23 mulclsr 7783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  .R  w
)  e.  R. )
2421, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( y  .R  w
)  e.  R. )
25 mulclsr 7783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
2620, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
27 addclsr 7782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .R  z
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R. )
2818, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R. )
29 mulclsr 7783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( y  .R  z
)  e.  R. )
3021, 16, 29syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( y  .R  z
)  e.  R. )
31 mulclsr 7783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( x  .R  w
)  e.  R. )
3215, 22, 31syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( x  .R  w
)  e.  R. )
33 addclsr 7782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  .R  z
)  e.  R.  /\  ( x  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )
3430, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )
35 opelxpi 4676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  e.  R. )  ->  <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >.  e.  ( R.  X.  R. )
)
3628, 34, 35syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >.  e.  ( R.  X.  R. )
)
3736, 2eleqtrrdi 2283 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  ->  <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >.  e.  CC )
3814, 37eqeltrd 2266 . . . 4  |-  ( ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  x.  B
)  e.  CC )
3938exlimivv 1908 . . 3  |-  ( E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  x.  B
)  e.  CC )
4039exlimivv 1908 . 2  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  /\  ( B  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
R.  /\  w  e.  R. ) ) )  -> 
( A  x.  B
)  e.  CC )
418, 40syl 14 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   <.cop 3610    X. cxp 4642  (class class class)co 5896   R.cnr 7326   -1Rcm1r 7329    +R cplr 7330    .R cmr 7331   CCcc 7839    x. cmul 7846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-1o 6441  df-2o 6442  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-er 6559  df-ec 6561  df-qs 6565  df-ni 7333  df-pli 7334  df-mi 7335  df-lti 7336  df-plpq 7373  df-mpq 7374  df-enq 7376  df-nqqs 7377  df-plqqs 7378  df-mqqs 7379  df-1nqqs 7380  df-rq 7381  df-ltnqqs 7382  df-enq0 7453  df-nq0 7454  df-0nq0 7455  df-plq0 7456  df-mq0 7457  df-inp 7495  df-i1p 7496  df-iplp 7497  df-imp 7498  df-enr 7755  df-nr 7756  df-plr 7757  df-mr 7758  df-m1r 7762  df-c 7847  df-mul 7853
This theorem is referenced by:  axmulf  7898
  Copyright terms: Public domain W3C validator