Theorem axaddrcl 7594

Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addrcl 7636 be used later. Instead, in most cases use readdcl 7664. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddrcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem axaddrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7557	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2		elreal 7557	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ R ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵)
3		oveq1 5733	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ + ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 + ⟨𝑦, 0R⟩))
4	3	eleq1d 2181	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ((⟨𝑥, 0R⟩ + ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ))
5		oveq2 5734	. . 3 ⊢ (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (𝐴 + ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 + 𝐵))
6	5	eleq1d 2181	. 2 ⊢ (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → ((𝐴 + ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
7		addresr 7566	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ + ⟨𝑦, 0R⟩) = ⟨(𝑥 +R 𝑦), 0R⟩)
8		addclsr 7490	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (𝑥 +R 𝑦) ∈ R)
9		opelreal 7556	. . . 4 ⊢ (⟨(𝑥 +R 𝑦), 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝑥 +R 𝑦) ∈ R)
10	8, 9	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → ⟨(𝑥 +R 𝑦), 0R⟩ ∈ ℝ)
11	7, 10	eqeltrd 2189	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ + ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ)
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 2688	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  ⟨cop 3494  (class class class)co 5726  Rcnr 7047  0_Rc0r 7048   +_R cplr 7051  ℝcr 7540   + caddc 7544

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-eprel 4169  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-irdg 6219  df-1o 6265  df-2o 6266  df-oadd 6269  df-omul 6270  df-er 6381  df-ec 6383  df-qs 6387  df-ni 7054  df-pli 7055  df-mi 7056  df-lti 7057  df-plpq 7094  df-mpq 7095  df-enq 7097  df-nqqs 7098  df-plqqs 7099  df-mqqs 7100  df-1nqqs 7101  df-rq 7102  df-ltnqqs 7103  df-enq0 7174  df-nq0 7175  df-0nq0 7176  df-plq0 7177  df-mq0 7178  df-inp 7216  df-i1p 7217  df-iplp 7218  df-enr 7463  df-nr 7464  df-plr 7465  df-0r 7468  df-c 7547  df-r 7551  df-add 7552

This theorem is referenced by:  peano5nnnn  7621