Theorem axaddrcl 8196

Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addrcl 8240 be used later. Instead, in most cases use readdcl 8269. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddrcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem axaddrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 8159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2		elreal 8159	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ R ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵)
3		oveq1 6065	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ + ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 + ⟨𝑦, 0R⟩))
4	3	eleq1d 2303	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ((⟨𝑥, 0R⟩ + ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ))
5		oveq2 6066	. . 3 ⊢ (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (𝐴 + ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 + 𝐵))
6	5	eleq1d 2303	. 2 ⊢ (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → ((𝐴 + ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
7		addresr 8168	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ + ⟨𝑦, 0R⟩) = ⟨(𝑥 +R 𝑦), 0R⟩)
8		addclsr 8084	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (𝑥 +R 𝑦) ∈ R)
9		opelreal 8158	. . . 4 ⊢ (⟨(𝑥 +R 𝑦), 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝑥 +R 𝑦) ∈ R)
10	8, 9	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → ⟨(𝑥 +R 𝑦), 0R⟩ ∈ ℝ)
11	7, 10	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ + ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ)
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 2849	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3697  (class class class)co 6058  Rcnr 7628  0_Rc0r 7629   +_R cplr 7632  ℝcr 8142   + caddc 8146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684  df-enq0 7755  df-nq0 7756  df-0nq0 7757  df-plq0 7758  df-mq0 7759  df-inp 7797  df-i1p 7798  df-iplp 7799  df-enr 8057  df-nr 8058  df-plr 8059  df-0r 8062  df-c 8149  df-r 8153  df-add 8154

This theorem is referenced by:  peano5nnnn  8223