ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addresr Unicode version

Theorem addresr 7657
Description: Addition of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
addresr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  0R >. )

Proof of Theorem addresr
StepHypRef Expression
1 0r 7570 . . 3  |-  0R  e.  R.
2 addcnsr 7654 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( B  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R )
>. )
32an4s 577 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R )
>. )
41, 1, 3mpanr12 435 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R ) >. )
5 0idsr 7587 . . . 4  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
76opeq2i 3709 . 2  |-  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R ) >.  =  <. ( A  +R  B ) ,  0R >.
84, 7syl6eq 2188 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  0R >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3530  (class class class)co 5774   R.cnr 7117   0Rc0r 7118    +R cplr 7121    + caddc 7635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173  df-enq0 7244  df-nq0 7245  df-0nq0 7246  df-plq0 7247  df-mq0 7248  df-inp 7286  df-i1p 7287  df-iplp 7288  df-enr 7546  df-nr 7547  df-plr 7548  df-0r 7551  df-c 7638  df-add 7643
This theorem is referenced by:  pitonnlem2  7667  axaddrcl  7685  axi2m1  7695  axrnegex  7699  axpre-ltadd  7706  axcaucvglemcau  7718  axcaucvglemres  7719
  Copyright terms: Public domain W3C validator