Theorem addresr 7839

Description: Addition of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
addresr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. + <. B , 0R >. ) = <. ( A +R B ) , 0R >. )

Proof of Theorem addresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 7752	. . 3 |- 0R e. R.
2		addcnsr 7836	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R e. R. ) /\ ( B e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. A , 0R >. + <. B , 0R >. ) = <. ( A +R B ) , ( 0R +R 0R ) >. )
3	2	an4s 588	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. A , 0R >. + <. B , 0R >. ) = <. ( A +R B ) , ( 0R +R 0R ) >. )
4	1, 1, 3	mpanr12 439	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. + <. B , 0R >. ) = <. ( A +R B ) , ( 0R +R 0R ) >. )
5		0idsr 7769	. . . 4 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
7	6	opeq2i 3784	. 2 |- <. ( A +R B ) , ( 0R +R 0R ) >. = <. ( A +R B ) , 0R >.
8	4, 7	eqtrdi 2226	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. + <. B , 0R >. ) = <. ( A +R B ) , 0R >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3597  (class class class)co 5878   R.cnr 7299   0Rc0r 7300   +R cplr 7303   + caddc 7817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-1o 6420  df-2o 6421  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-pli 7307  df-mi 7308  df-lti 7309  df-plpq 7346  df-mpq 7347  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-plqqs 7351  df-mqqs 7352  df-1nqqs 7353  df-rq 7354  df-ltnqqs 7355  df-enq0 7426  df-nq0 7427  df-0nq0 7428  df-plq0 7429  df-mq0 7430  df-inp 7468  df-i1p 7469  df-iplp 7470  df-enr 7728  df-nr 7729  df-plr 7730  df-0r 7733  df-c 7820  df-add 7825

This theorem is referenced by:  pitonnlem2  7849  axaddrcl  7867  axi2m1  7877  axrnegex  7881  axpre-ltadd  7888  axcaucvglemcau  7900  axcaucvglemres  7901