Theorem addresr 7645

Description: Addition of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
addresr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. + <. B , 0R >. ) = <. ( A +R B ) , 0R >. )

Proof of Theorem addresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 7558	. . 3 |- 0R e. R.
2		addcnsr 7642	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R e. R. ) /\ ( B e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. A , 0R >. + <. B , 0R >. ) = <. ( A +R B ) , ( 0R +R 0R ) >. )
3	2	an4s 577	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. A , 0R >. + <. B , 0R >. ) = <. ( A +R B ) , ( 0R +R 0R ) >. )
4	1, 1, 3	mpanr12 435	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. + <. B , 0R >. ) = <. ( A +R B ) , ( 0R +R 0R ) >. )
5		0idsr 7575	. . . 4 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
7	6	opeq2i 3709	. 2 |- <. ( A +R B ) , ( 0R +R 0R ) >. = <. ( A +R B ) , 0R >.
8	4, 7	syl6eq 2188	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. + <. B , 0R >. ) = <. ( A +R B ) , 0R >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3530  (class class class)co 5774   R.cnr 7105   0Rc0r 7106   +R cplr 7109   + caddc 7623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-iplp 7276  df-enr 7534  df-nr 7535  df-plr 7536  df-0r 7539  df-c 7626  df-add 7631

This theorem is referenced by:  pitonnlem2  7655  axaddrcl  7673  axi2m1  7683  axrnegex  7687  axpre-ltadd  7694  axcaucvglemcau  7706  axcaucvglemres  7707