Theorem axpre-apti 8000

Description: Apartness of reals is tight. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-apti 8042.

(Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-apti	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) -> A = B )

Proof of Theorem axpre-apti

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7943	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7943	. . 3 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		breq1 4048	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
4		breq2 4049	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> <. y , 0R >. <RR A ) )
5	3, 4	orbi12d 795	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
6	5	notbid 669	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
7		eqeq1 2212	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> A = <. y , 0R >. ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. ) <-> ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) -> A = <. y , 0R >. ) ) )
9		breq2 4049	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
10		breq1 4048	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR A <-> B <RR A ) )
11	9, 10	orbi12d 795	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
12	11	notbid 669	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
13		eqeq2 2215	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A = <. y , 0R >. <-> A = B ) )
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) -> A = <. y , 0R >. ) <-> ( -. ( A <RR B \/ B <RR A ) -> A = B ) ) )
15		aptisr 7894	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ -. ( x <R y \/ y <R x ) ) -> x = y )
16	15	3expia 1208	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( -. ( x <R y \/ y <R x ) -> x = y ) )
17		ltresr 7954	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
18		ltresr 7954	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> y <R x )
19	17, 18	orbi12i 766	. . . . 5 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) )
20	19	notbii 670	. . . 4 |- ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> -. ( x <R y \/ y <R x ) )
21		vex 2775	. . . . 5 |- x e. _V
22	21	eqresr 7951	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> x = y )
23	16, 20, 22	3imtr4g 205	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. ) )
24	1, 2, 8, 14, 23	2gencl 2805	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. ( A <RR B \/ B <RR A ) -> A = B ) )
25	24	3impia 1203	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   class class class wbr 4045   R.cnr 7412   0Rc0r 7413   <R cltr 7418   RRcr 7926   <RR cltrr 7931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-eprel 4337  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-1o 6504  df-2o 6505  df-oadd 6508  df-omul 6509  df-er 6622  df-ec 6624  df-qs 6628  df-ni 7419  df-pli 7420  df-mi 7421  df-lti 7422  df-plpq 7459  df-mpq 7460  df-enq 7462  df-nqqs 7463  df-plqqs 7464  df-mqqs 7465  df-1nqqs 7466  df-rq 7467  df-ltnqqs 7468  df-enq0 7539  df-nq0 7540  df-0nq0 7541  df-plq0 7542  df-mq0 7543  df-inp 7581  df-i1p 7582  df-iplp 7583  df-iltp 7585  df-enr 7841  df-nr 7842  df-ltr 7845  df-0r 7846  df-r 7937  df-lt 7940

This theorem is referenced by: (None)