Theorem axpre-apti 8104

Description: Apartness of reals is tight. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-apti 8146.

(Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-apti	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) -> A = B )

Proof of Theorem axpre-apti

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 8047	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 8047	. . 3 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
4		breq2 4092	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> <. y , 0R >. <RR A ) )
5	3, 4	orbi12d 800	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
6	5	notbid 673	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
7		eqeq1 2238	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> A = <. y , 0R >. ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. ) <-> ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) -> A = <. y , 0R >. ) ) )
9		breq2 4092	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
10		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR A <-> B <RR A ) )
11	9, 10	orbi12d 800	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
12	11	notbid 673	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
13		eqeq2 2241	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A = <. y , 0R >. <-> A = B ) )
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) -> A = <. y , 0R >. ) <-> ( -. ( A <RR B \/ B <RR A ) -> A = B ) ) )
15		aptisr 7998	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ -. ( x <R y \/ y <R x ) ) -> x = y )
16	15	3expia 1231	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( -. ( x <R y \/ y <R x ) -> x = y ) )
17		ltresr 8058	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
18		ltresr 8058	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> y <R x )
19	17, 18	orbi12i 771	. . . . 5 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) )
20	19	notbii 674	. . . 4 |- ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> -. ( x <R y \/ y <R x ) )
21		vex 2805	. . . . 5 |- x e. _V
22	21	eqresr 8055	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> x = y )
23	16, 20, 22	3imtr4g 205	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. ) )
24	1, 2, 8, 14, 23	2gencl 2836	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. ( A <RR B \/ B <RR A ) -> A = B ) )
25	24	3impia 1226	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   <.cop 3672   class class class wbr 4088   R.cnr 7516   0Rc0r 7517   <R cltr 7522   RRcr 8030   <RR cltrr 8035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-1o 6581  df-2o 6582  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-pli 7524  df-mi 7525  df-lti 7526  df-plpq 7563  df-mpq 7564  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-plqqs 7568  df-mqqs 7569  df-1nqqs 7570  df-rq 7571  df-ltnqqs 7572  df-enq0 7643  df-nq0 7644  df-0nq0 7645  df-plq0 7646  df-mq0 7647  df-inp 7685  df-i1p 7686  df-iplp 7687  df-iltp 7689  df-enr 7945  df-nr 7946  df-ltr 7949  df-0r 7950  df-r 8041  df-lt 8044

This theorem is referenced by: (None)