Theorem axpre-apti 7952

Description: Apartness of reals is tight. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-apti 7994.

(Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-apti	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) -> A = B )

Proof of Theorem axpre-apti

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7895	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7895	. . 3 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		breq1 4036	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
4		breq2 4037	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> <. y , 0R >. <RR A ) )
5	3, 4	orbi12d 794	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
6	5	notbid 668	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
7		eqeq1 2203	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> A = <. y , 0R >. ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. ) <-> ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) -> A = <. y , 0R >. ) ) )
9		breq2 4037	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
10		breq1 4036	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR A <-> B <RR A ) )
11	9, 10	orbi12d 794	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
12	11	notbid 668	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
13		eqeq2 2206	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A = <. y , 0R >. <-> A = B ) )
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) -> A = <. y , 0R >. ) <-> ( -. ( A <RR B \/ B <RR A ) -> A = B ) ) )
15		aptisr 7846	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ -. ( x <R y \/ y <R x ) ) -> x = y )
16	15	3expia 1207	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( -. ( x <R y \/ y <R x ) -> x = y ) )
17		ltresr 7906	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
18		ltresr 7906	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> y <R x )
19	17, 18	orbi12i 765	. . . . 5 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) )
20	19	notbii 669	. . . 4 |- ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> -. ( x <R y \/ y <R x ) )
21		vex 2766	. . . . 5 |- x e. _V
22	21	eqresr 7903	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> x = y )
23	16, 20, 22	3imtr4g 205	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. ) )
24	1, 2, 8, 14, 23	2gencl 2796	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. ( A <RR B \/ B <RR A ) -> A = B ) )
25	24	3impia 1202	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3625   class class class wbr 4033   R.cnr 7364   0Rc0r 7365   <R cltr 7370   RRcr 7878   <RR cltrr 7883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-iltp 7537  df-enr 7793  df-nr 7794  df-ltr 7797  df-0r 7798  df-r 7889  df-lt 7892

This theorem is referenced by: (None)