Theorem axpre-apti 7947

Description: Apartness of reals is tight. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-apti 7989.

(Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-apti	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) -> A = B )

Proof of Theorem axpre-apti

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7890	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7890	. . 3 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		breq1 4033	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
4		breq2 4034	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> <. y , 0R >. <RR A ) )
5	3, 4	orbi12d 794	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
6	5	notbid 668	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
7		eqeq1 2200	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> A = <. y , 0R >. ) )
8	6, 7	imbi12d 234	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. ) <-> ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) -> A = <. y , 0R >. ) ) )
9		breq2 4034	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
10		breq1 4033	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR A <-> B <RR A ) )
11	9, 10	orbi12d 794	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
12	11	notbid 668	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
13		eqeq2 2203	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A = <. y , 0R >. <-> A = B ) )
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) -> A = <. y , 0R >. ) <-> ( -. ( A <RR B \/ B <RR A ) -> A = B ) ) )
15		aptisr 7841	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ -. ( x <R y \/ y <R x ) ) -> x = y )
16	15	3expia 1207	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( -. ( x <R y \/ y <R x ) -> x = y ) )
17		ltresr 7901	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
18		ltresr 7901	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> y <R x )
19	17, 18	orbi12i 765	. . . . 5 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) )
20	19	notbii 669	. . . 4 |- ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> -. ( x <R y \/ y <R x ) )
21		vex 2763	. . . . 5 |- x e. _V
22	21	eqresr 7898	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> x = y )
23	16, 20, 22	3imtr4g 205	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. ) )
24	1, 2, 8, 14, 23	2gencl 2793	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. ( A <RR B \/ B <RR A ) -> A = B ) )
25	24	3impia 1202	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   <.cop 3622   class class class wbr 4030   R.cnr 7359   0Rc0r 7360   <R cltr 7365   RRcr 7873   <RR cltrr 7878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-2o 6472  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-rq 7414  df-ltnqqs 7415  df-enq0 7486  df-nq0 7487  df-0nq0 7488  df-plq0 7489  df-mq0 7490  df-inp 7528  df-i1p 7529  df-iplp 7530  df-iltp 7532  df-enr 7788  df-nr 7789  df-ltr 7792  df-0r 7793  df-r 7884  df-lt 7887

This theorem is referenced by: (None)