ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-apti Unicode version

Theorem axpre-apti 7399
Description: Apartness of reals is tight. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-apti 7439.

(Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axpre-apti  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  -.  ( A  <RR  B  \/  B  <RR  A ) )  ->  A  =  B )

Proof of Theorem axpre-apti
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7345 . . 3  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 7345 . . 3  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 breq1 3840 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
4 breq2 3841 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  <. y ,  0R >. 
<RR  A ) )
53, 4orbi12d 742 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )  <-> 
( A  <RR  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A ) ) )
65notbid 627 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( -.  ( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. )  <->  -.  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  A ) ) )
7 eqeq1 2094 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  <->  A  =  <. y ,  0R >. ) )
86, 7imbi12d 232 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( -.  ( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >. )  <->  ( -.  ( A  <RR  <.
y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  A )  ->  A  =  <. y ,  0R >. ) ) )
9 breq2 3841 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
10 breq1 3840 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  A  <->  B  <RR  A ) )
119, 10orbi12d 742 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  A )  <->  ( A  <RR  B  \/  B  <RR  A ) ) )
1211notbid 627 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( -.  ( A  <RR  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A )  <->  -.  ( A  <RR  B  \/  B  <RR  A ) ) )
13 eqeq2 2097 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  =  <. y ,  0R >.  <-> 
A  =  B ) )
1412, 13imbi12d 232 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( -.  ( A  <RR  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A )  ->  A  =  <. y ,  0R >. )  <->  ( -.  ( A  <RR  B  \/  B  <RR  A )  ->  A  =  B ) ) )
15 aptisr 7303 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  -.  ( x  <R  y  \/  y  <R  x )
)  ->  x  =  y )
16153expia 1145 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( -.  ( x 
<R  y  \/  y  <R  x )  ->  x  =  y ) )
17 ltresr 7355 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
18 ltresr 7355 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  y  <R  x )
1917, 18orbi12i 716 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )  <-> 
( x  <R  y  \/  y  <R  x ) )
2019notbii 629 . . . 4  |-  ( -.  ( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. )  <->  -.  ( x  <R  y  \/  y  <R  x ) )
21 vex 2622 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
2221eqresr 7352 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  <->  x  =  y )
2316, 20, 223imtr4g 203 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( -.  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >. ) )
241, 2, 8, 14, 232gencl 2652 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  ( A 
<RR  B  \/  B  <RR  A )  ->  A  =  B ) )
25243impia 1140 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  -.  ( A  <RR  B  \/  B  <RR  A ) )  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3444   class class class wbr 3837   R.cnr 6835   0Rc0r 6836    <R cltr 6841   RRcr 7328    <RR cltrr 7333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-0nq0 6964  df-plq0 6965  df-mq0 6966  df-inp 7004  df-i1p 7005  df-iplp 7006  df-iltp 7008  df-enr 7251  df-nr 7252  df-ltr 7255  df-0r 7256  df-r 7339  df-lt 7342
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator