Theorem axpre-apti 7826

Description: Apartness of reals is tight. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-apti 7868.

(Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-apti	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) -> A = B )

Proof of Theorem axpre-apti

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7769	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7769	. . 3 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		breq1 3985	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
4		breq2 3986	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> <. y , 0R >. <RR A ) )
5	3, 4	orbi12d 783	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
6	5	notbid 657	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) ) )
7		eqeq1 2172	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> A = <. y , 0R >. ) )
8	6, 7	imbi12d 233	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. ) <-> ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) -> A = <. y , 0R >. ) ) )
9		breq2 3986	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
10		breq1 3985	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR A <-> B <RR A ) )
11	9, 10	orbi12d 783	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
12	11	notbid 657	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) <-> -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) )
13		eqeq2 2175	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A = <. y , 0R >. <-> A = B ) )
14	12, 13	imbi12d 233	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( -. ( A <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR A ) -> A = <. y , 0R >. ) <-> ( -. ( A <RR B \/ B <RR A ) -> A = B ) ) )
15		aptisr 7720	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ -. ( x <R y \/ y <R x ) ) -> x = y )
16	15	3expia 1195	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( -. ( x <R y \/ y <R x ) -> x = y ) )
17		ltresr 7780	. . . . . 6 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
18		ltresr 7780	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> y <R x )
19	17, 18	orbi12i 754	. . . . 5 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> ( x <R y \/ y <R x ) )
20	19	notbii 658	. . . 4 |- ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) <-> -. ( x <R y \/ y <R x ) )
21		vex 2729	. . . . 5 |- x e. _V
22	21	eqresr 7777	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> x = y )
23	16, 20, 22	3imtr4g 204	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( -. ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. \/ <. y , 0R >. <RR <. x , 0R >. ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. ) )
24	1, 2, 8, 14, 23	2gencl 2759	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. ( A <RR B \/ B <RR A ) -> A = B ) )
25	24	3impia 1190	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -. ( A <RR B \/ B <RR A ) ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   <.cop 3579   class class class wbr 3982   R.cnr 7238   0Rc0r 7239   <R cltr 7244   RRcr 7752   <RR cltrr 7757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-iltp 7411  df-enr 7667  df-nr 7668  df-ltr 7671  df-0r 7672  df-r 7763  df-lt 7766

This theorem is referenced by: (None)