Theorem caucvgsrlembound 8004

Description: Lemma for caucvgsr 8012. Defining the boundedness condition in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlemgt1.gt1	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlemf.xfr	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ N ↦ (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembound	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑚))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥   𝑚,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlembound

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemgt1.gt1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
2		fveq2 5635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑤))
3	2	breq2d 4098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (1R <R (𝐹‘𝑚) ↔ 1R <R (𝐹‘𝑤)))
4	3	cbvralv 2765	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚) ↔ ∀𝑤 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑤))
5	1, 4	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑤))
6	5	r19.21bi 2618	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → 1R <R (𝐹‘𝑤))
7		df-1r 7942	. . . . . . 7 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
8	7	eqcomi 2233	. . . . . 6 ⊢ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R)
10		caucvgsr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
11		caucvgsr.cau	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
12		caucvgsrlemf.xfr	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ N ↦ (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))
13	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemfv 8001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝑤))
14	6, 9, 13	3brtr4d 4118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R )
15		1pr 7764	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
16	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemf 8002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶P)
17	16	ffvelcdmda 5778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝐺‘𝑤) ∈ P)
18		prsrlt 7997	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ (𝐺‘𝑤) ∈ P) → (1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
19	15, 17, 18	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → (1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
20	14, 19	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → 1P<P (𝐺‘𝑤))
21	20	ralrimiva 2603	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑤))
22		fveq2 5635	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑚))
23	22	breq2d 4098	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ 1P<P (𝐺‘𝑚)))
24	23	cbvralv 2765	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑚))
25	21, 24	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∀wral 2508  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  ℩crio 5965  (class class class)co 6013  1_oc1o 6570  [cec 6695  Ncnpi 7482   <_N clti 7485   ~_Q ceq 7489  *_Qcrq 7494   <_Q cltq 7495  Pcnp 7501  1_Pc1p 7502   +_P cpp 7503  <_P cltp 7505   ~_R cer 7506  Rcnr 7507  1_Rc1r 7509   +_R cplr 7511   <_R cltr 7513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-pli 7515  df-mi 7516  df-lti 7517  df-plpq 7554  df-mpq 7555  df-enq 7557  df-nqqs 7558  df-plqqs 7559  df-mqqs 7560  df-1nqqs 7561  df-rq 7562  df-ltnqqs 7563  df-enq0 7634  df-nq0 7635  df-0nq0 7636  df-plq0 7637  df-mq0 7638  df-inp 7676  df-i1p 7677  df-iplp 7678  df-iltp 7680  df-enr 7936  df-nr 7937  df-ltr 7940  df-0r 7941  df-1r 7942

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  8005