Theorem caucvgsrlembound 7854

Description: Lemma for caucvgsr 7862. Defining the boundedness condition in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlemgt1.gt1	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlemf.xfr	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ N ↦ (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembound	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑚))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥   𝑚,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlembound

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemgt1.gt1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
2		fveq2 5554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑤))
3	2	breq2d 4041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (1R <R (𝐹‘𝑚) ↔ 1R <R (𝐹‘𝑤)))
4	3	cbvralv 2726	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚) ↔ ∀𝑤 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑤))
5	1, 4	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑤))
6	5	r19.21bi 2582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → 1R <R (𝐹‘𝑤))
7		df-1r 7792	. . . . . . 7 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
8	7	eqcomi 2197	. . . . . 6 ⊢ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R)
10		caucvgsr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
11		caucvgsr.cau	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
12		caucvgsrlemf.xfr	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ N ↦ (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))
13	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemfv 7851	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝑤))
14	6, 9, 13	3brtr4d 4061	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R )
15		1pr 7614	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
16	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemf 7852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶P)
17	16	ffvelcdmda 5693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝐺‘𝑤) ∈ P)
18		prsrlt 7847	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ (𝐺‘𝑤) ∈ P) → (1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
19	15, 17, 18	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → (1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
20	14, 19	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → 1P<P (𝐺‘𝑤))
21	20	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑤))
22		fveq2 5554	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑚))
23	22	breq2d 4041	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ 1P<P (𝐺‘𝑚)))
24	23	cbvralv 2726	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑚))
25	21, 24	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∀wral 2472  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  ℩crio 5872  (class class class)co 5918  1_oc1o 6462  [cec 6585  Ncnpi 7332   <_N clti 7335   ~_Q ceq 7339  *_Qcrq 7344   <_Q cltq 7345  Pcnp 7351  1_Pc1p 7352   +_P cpp 7353  <_P cltp 7355   ~_R cer 7356  Rcnr 7357  1_Rc1r 7359   +_R cplr 7361   <_R cltr 7363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-0nq0 7486  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526  df-i1p 7527  df-iplp 7528  df-iltp 7530  df-enr 7786  df-nr 7787  df-ltr 7790  df-0r 7791  df-1r 7792

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7855