ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlembound GIF version

Theorem caucvgsrlembound 7400
Description: Lemma for caucvgsr 7408. Defining the boundedness condition in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsr.cau (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlemgt1.gt1 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚))
caucvgsrlemf.xfr 𝐺 = (𝑥N ↦ (𝑦P (𝐹𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlembound (𝜑 → ∀𝑚N 1P<P (𝐺𝑚))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥   𝑚,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlembound
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemgt1.gt1 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚))
2 fveq2 5318 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑤 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑤))
32breq2d 3863 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑤 → (1R <R (𝐹𝑚) ↔ 1R <R (𝐹𝑤)))
43cbvralv 2591 . . . . . . 7 (∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚) ↔ ∀𝑤N 1R <R (𝐹𝑤))
51, 4sylib 121 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤N 1R <R (𝐹𝑤))
65r19.21bi 2462 . . . . 5 ((𝜑𝑤N) → 1R <R (𝐹𝑤))
7 df-1r 7339 . . . . . . 7 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
87eqcomi 2093 . . . . . 6 [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R
98a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑤N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R)
10 caucvgsr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:NR)
11 caucvgsr.cau . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
12 caucvgsrlemf.xfr . . . . . 6 𝐺 = (𝑥N ↦ (𝑦P (𝐹𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))
1310, 11, 1, 12caucvgsrlemfv 7397 . . . . 5 ((𝜑𝑤N) → [⟨((𝐺𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝑤))
146, 9, 133brtr4d 3881 . . . 4 ((𝜑𝑤N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R )
15 1pr 7174 . . . . 5 1PP
1610, 11, 1, 12caucvgsrlemf 7398 . . . . . 6 (𝜑𝐺:NP)
1716ffvelrnda 5448 . . . . 5 ((𝜑𝑤N) → (𝐺𝑤) ∈ P)
18 prsrlt 7393 . . . . 5 ((1PP ∧ (𝐺𝑤) ∈ P) → (1P<P (𝐺𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
1915, 17, 18sylancr 406 . . . 4 ((𝜑𝑤N) → (1P<P (𝐺𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
2014, 19mpbird 166 . . 3 ((𝜑𝑤N) → 1P<P (𝐺𝑤))
2120ralrimiva 2447 . 2 (𝜑 → ∀𝑤N 1P<P (𝐺𝑤))
22 fveq2 5318 . . . 4 (𝑤 = 𝑚 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑚))
2322breq2d 3863 . . 3 (𝑤 = 𝑚 → (1P<P (𝐺𝑤) ↔ 1P<P (𝐺𝑚)))
2423cbvralv 2591 . 2 (∀𝑤N 1P<P (𝐺𝑤) ↔ ∀𝑚N 1P<P (𝐺𝑚))
2521, 24sylib 121 1 (𝜑 → ∀𝑚N 1P<P (𝐺𝑚))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1290  wcel 1439  {cab 2075  wral 2360  cop 3453   class class class wbr 3851  cmpt 3905  wf 5024  cfv 5028  crio 5621  (class class class)co 5666  1oc1o 6188  [cec 6304  Ncnpi 6892   <N clti 6895   ~Q ceq 6899  *Qcrq 6904   <Q cltq 6905  Pcnp 6911  1Pc1p 6912   +P cpp 6913  <P cltp 6915   ~R cer 6916  Rcnr 6917  1Rc1r 6919   +R cplr 6921   <R cltr 6923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-2o 6196  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-lti 6927  df-plpq 6964  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969  df-mqqs 6970  df-1nqqs 6971  df-rq 6972  df-ltnqqs 6973  df-enq0 7044  df-nq0 7045  df-0nq0 7046  df-plq0 7047  df-mq0 7048  df-inp 7086  df-i1p 7087  df-iplp 7088  df-iltp 7090  df-enr 7333  df-nr 7334  df-ltr 7337  df-0r 7338  df-1r 7339
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7401
  Copyright terms: Public domain W3C validator