ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlembound GIF version

Theorem caucvgsrlembound 7616
Description: Lemma for caucvgsr 7624. Defining the boundedness condition in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsr.cau (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlemgt1.gt1 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚))
caucvgsrlemf.xfr 𝐺 = (𝑥N ↦ (𝑦P (𝐹𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlembound (𝜑 → ∀𝑚N 1P<P (𝐺𝑚))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥   𝑚,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlembound
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemgt1.gt1 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚))
2 fveq2 5421 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑤 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑤))
32breq2d 3941 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑤 → (1R <R (𝐹𝑚) ↔ 1R <R (𝐹𝑤)))
43cbvralv 2654 . . . . . . 7 (∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚) ↔ ∀𝑤N 1R <R (𝐹𝑤))
51, 4sylib 121 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤N 1R <R (𝐹𝑤))
65r19.21bi 2520 . . . . 5 ((𝜑𝑤N) → 1R <R (𝐹𝑤))
7 df-1r 7554 . . . . . . 7 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
87eqcomi 2143 . . . . . 6 [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R
98a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑤N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R)
10 caucvgsr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:NR)
11 caucvgsr.cau . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
12 caucvgsrlemf.xfr . . . . . 6 𝐺 = (𝑥N ↦ (𝑦P (𝐹𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))
1310, 11, 1, 12caucvgsrlemfv 7613 . . . . 5 ((𝜑𝑤N) → [⟨((𝐺𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝑤))
146, 9, 133brtr4d 3960 . . . 4 ((𝜑𝑤N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R )
15 1pr 7376 . . . . 5 1PP
1610, 11, 1, 12caucvgsrlemf 7614 . . . . . 6 (𝜑𝐺:NP)
1716ffvelrnda 5555 . . . . 5 ((𝜑𝑤N) → (𝐺𝑤) ∈ P)
18 prsrlt 7609 . . . . 5 ((1PP ∧ (𝐺𝑤) ∈ P) → (1P<P (𝐺𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
1915, 17, 18sylancr 410 . . . 4 ((𝜑𝑤N) → (1P<P (𝐺𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
2014, 19mpbird 166 . . 3 ((𝜑𝑤N) → 1P<P (𝐺𝑤))
2120ralrimiva 2505 . 2 (𝜑 → ∀𝑤N 1P<P (𝐺𝑤))
22 fveq2 5421 . . . 4 (𝑤 = 𝑚 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑚))
2322breq2d 3941 . . 3 (𝑤 = 𝑚 → (1P<P (𝐺𝑤) ↔ 1P<P (𝐺𝑚)))
2423cbvralv 2654 . 2 (∀𝑤N 1P<P (𝐺𝑤) ↔ ∀𝑚N 1P<P (𝐺𝑚))
2521, 24sylib 121 1 (𝜑 → ∀𝑚N 1P<P (𝐺𝑚))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  {cab 2125  wral 2416  cop 3530   class class class wbr 3929  cmpt 3989  wf 5119  cfv 5123  crio 5729  (class class class)co 5774  1oc1o 6306  [cec 6427  Ncnpi 7094   <N clti 7097   ~Q ceq 7101  *Qcrq 7106   <Q cltq 7107  Pcnp 7113  1Pc1p 7114   +P cpp 7115  <P cltp 7117   ~R cer 7118  Rcnr 7119  1Rc1r 7121   +R cplr 7123   <R cltr 7125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7126  df-pli 7127  df-mi 7128  df-lti 7129  df-plpq 7166  df-mpq 7167  df-enq 7169  df-nqqs 7170  df-plqqs 7171  df-mqqs 7172  df-1nqqs 7173  df-rq 7174  df-ltnqqs 7175  df-enq0 7246  df-nq0 7247  df-0nq0 7248  df-plq0 7249  df-mq0 7250  df-inp 7288  df-i1p 7289  df-iplp 7290  df-iltp 7292  df-enr 7548  df-nr 7549  df-ltr 7552  df-0r 7553  df-1r 7554
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7617
  Copyright terms: Public domain W3C validator