Theorem caucvgsrlembound 7813

Description: Lemma for caucvgsr 7821. Defining the boundedness condition in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlemgt1.gt1	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlemf.xfr	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ N ↦ (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembound	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑚))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥   𝑚,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlembound

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemgt1.gt1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
2		fveq2 5531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑤))
3	2	breq2d 4030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (1R <R (𝐹‘𝑚) ↔ 1R <R (𝐹‘𝑤)))
4	3	cbvralv 2718	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚) ↔ ∀𝑤 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑤))
5	1, 4	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑤))
6	5	r19.21bi 2578	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → 1R <R (𝐹‘𝑤))
7		df-1r 7751	. . . . . . 7 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
8	7	eqcomi 2193	. . . . . 6 ⊢ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R)
10		caucvgsr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
11		caucvgsr.cau	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
12		caucvgsrlemf.xfr	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ N ↦ (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))
13	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemfv 7810	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝑤))
14	6, 9, 13	3brtr4d 4050	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R )
15		1pr 7573	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
16	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemf 7811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶P)
17	16	ffvelcdmda 5668	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝐺‘𝑤) ∈ P)
18		prsrlt 7806	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ (𝐺‘𝑤) ∈ P) → (1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
19	15, 17, 18	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → (1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
20	14, 19	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → 1P<P (𝐺‘𝑤))
21	20	ralrimiva 2563	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑤))
22		fveq2 5531	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑚))
23	22	breq2d 4030	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ 1P<P (𝐺‘𝑚)))
24	23	cbvralv 2718	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑚))
25	21, 24	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {cab 2175  ∀wral 2468  ⟨cop 3610   class class class wbr 4018   ↦ cmpt 4079  ⟶wf 5228  ‘cfv 5232  ℩crio 5847  (class class class)co 5892  1_oc1o 6429  [cec 6552  Ncnpi 7291   <_N clti 7294   ~_Q ceq 7298  *_Qcrq 7303   <_Q cltq 7304  Pcnp 7310  1_Pc1p 7311   +_P cpp 7312  <_P cltp 7314   ~_R cer 7315  Rcnr 7316  1_Rc1r 7318   +_R cplr 7320   <_R cltr 7322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-1o 6436  df-2o 6437  df-oadd 6440  df-omul 6441  df-er 6554  df-ec 6556  df-qs 6560  df-ni 7323  df-pli 7324  df-mi 7325  df-lti 7326  df-plpq 7363  df-mpq 7364  df-enq 7366  df-nqqs 7367  df-plqqs 7368  df-mqqs 7369  df-1nqqs 7370  df-rq 7371  df-ltnqqs 7372  df-enq0 7443  df-nq0 7444  df-0nq0 7445  df-plq0 7446  df-mq0 7447  df-inp 7485  df-i1p 7486  df-iplp 7487  df-iltp 7489  df-enr 7745  df-nr 7746  df-ltr 7749  df-0r 7750  df-1r 7751

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7814