Theorem caucvgsrlembound 7861

Description: Lemma for caucvgsr 7869. Defining the boundedness condition in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlemgt1.gt1	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlemf.xfr	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ N ↦ (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembound	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑚))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥   𝑚,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlembound

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemgt1.gt1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
2		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑤))
3	2	breq2d 4045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (1R <R (𝐹‘𝑚) ↔ 1R <R (𝐹‘𝑤)))
4	3	cbvralv 2729	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚) ↔ ∀𝑤 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑤))
5	1, 4	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑤))
6	5	r19.21bi 2585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → 1R <R (𝐹‘𝑤))
7		df-1r 7799	. . . . . . 7 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
8	7	eqcomi 2200	. . . . . 6 ⊢ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R)
10		caucvgsr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
11		caucvgsr.cau	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
12		caucvgsrlemf.xfr	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ N ↦ (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))
13	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemfv 7858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝑤))
14	6, 9, 13	3brtr4d 4065	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R )
15		1pr 7621	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
16	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemf 7859	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶P)
17	16	ffvelcdmda 5697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝐺‘𝑤) ∈ P)
18		prsrlt 7854	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ (𝐺‘𝑤) ∈ P) → (1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
19	15, 17, 18	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → (1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺‘𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
20	14, 19	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ N) → 1P<P (𝐺‘𝑤))
21	20	ralrimiva 2570	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑤))
22		fveq2 5558	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑚))
23	22	breq2d 4045	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ 1P<P (𝐺‘𝑚)))
24	23	cbvralv 2729	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑚))
25	21, 24	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1P<P (𝐺‘𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  ∀wral 2475  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  ℩crio 5876  (class class class)co 5922  1_oc1o 6467  [cec 6590  Ncnpi 7339   <_N clti 7342   ~_Q ceq 7346  *_Qcrq 7351   <_Q cltq 7352  Pcnp 7358  1_Pc1p 7359   +_P cpp 7360  <_P cltp 7362   ~_R cer 7363  Rcnr 7364  1_Rc1r 7366   +_R cplr 7368   <_R cltr 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-iltp 7537  df-enr 7793  df-nr 7794  df-ltr 7797  df-0r 7798  df-1r 7799

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7862