ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlembound GIF version

Theorem caucvgsrlembound 7806
Description: Lemma for caucvgsr 7814. Defining the boundedness condition in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsr.cau (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlemgt1.gt1 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚))
caucvgsrlemf.xfr 𝐺 = (𝑥N ↦ (𝑦P (𝐹𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlembound (𝜑 → ∀𝑚N 1P<P (𝐺𝑚))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥   𝑚,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlembound
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemgt1.gt1 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚))
2 fveq2 5527 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑤 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑤))
32breq2d 4027 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑤 → (1R <R (𝐹𝑚) ↔ 1R <R (𝐹𝑤)))
43cbvralv 2715 . . . . . . 7 (∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚) ↔ ∀𝑤N 1R <R (𝐹𝑤))
51, 4sylib 122 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤N 1R <R (𝐹𝑤))
65r19.21bi 2575 . . . . 5 ((𝜑𝑤N) → 1R <R (𝐹𝑤))
7 df-1r 7744 . . . . . . 7 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
87eqcomi 2191 . . . . . 6 [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R
98a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑤N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R = 1R)
10 caucvgsr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:NR)
11 caucvgsr.cau . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
12 caucvgsrlemf.xfr . . . . . 6 𝐺 = (𝑥N ↦ (𝑦P (𝐹𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))
1310, 11, 1, 12caucvgsrlemfv 7803 . . . . 5 ((𝜑𝑤N) → [⟨((𝐺𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝑤))
146, 9, 133brtr4d 4047 . . . 4 ((𝜑𝑤N) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R )
15 1pr 7566 . . . . 5 1PP
1610, 11, 1, 12caucvgsrlemf 7804 . . . . . 6 (𝜑𝐺:NP)
1716ffvelcdmda 5664 . . . . 5 ((𝜑𝑤N) → (𝐺𝑤) ∈ P)
18 prsrlt 7799 . . . . 5 ((1PP ∧ (𝐺𝑤) ∈ P) → (1P<P (𝐺𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
1915, 17, 18sylancr 414 . . . 4 ((𝜑𝑤N) → (1P<P (𝐺𝑤) ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨((𝐺𝑤) +P 1P), 1P⟩] ~R ))
2014, 19mpbird 167 . . 3 ((𝜑𝑤N) → 1P<P (𝐺𝑤))
2120ralrimiva 2560 . 2 (𝜑 → ∀𝑤N 1P<P (𝐺𝑤))
22 fveq2 5527 . . . 4 (𝑤 = 𝑚 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑚))
2322breq2d 4027 . . 3 (𝑤 = 𝑚 → (1P<P (𝐺𝑤) ↔ 1P<P (𝐺𝑚)))
2423cbvralv 2715 . 2 (∀𝑤N 1P<P (𝐺𝑤) ↔ ∀𝑚N 1P<P (𝐺𝑚))
2521, 24sylib 122 1 (𝜑 → ∀𝑚N 1P<P (𝐺𝑚))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158  {cab 2173  wral 2465  cop 3607   class class class wbr 4015  cmpt 4076  wf 5224  cfv 5228  crio 5843  (class class class)co 5888  1oc1o 6423  [cec 6546  Ncnpi 7284   <N clti 7287   ~Q ceq 7291  *Qcrq 7296   <Q cltq 7297  Pcnp 7303  1Pc1p 7304   +P cpp 7305  <P cltp 7307   ~R cer 7308  Rcnr 7309  1Rc1r 7311   +R cplr 7313   <R cltr 7315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-2o 6431  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-1nqqs 7363  df-rq 7364  df-ltnqqs 7365  df-enq0 7436  df-nq0 7437  df-0nq0 7438  df-plq0 7439  df-mq0 7440  df-inp 7478  df-i1p 7479  df-iplp 7480  df-iltp 7482  df-enr 7738  df-nr 7739  df-ltr 7742  df-0r 7743  df-1r 7744
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7807
  Copyright terms: Public domain W3C validator