Theorem ceilqval 10209

Description: The value of the ceiling function. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ceilqval	|- ( A e. QQ -> (⌈ ` A ) = -u ( |_ ` -u A ) )

Proof of Theorem ceilqval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9535	. 2 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2		qnegcl 9546	. . 3 |- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )
3		flqcl 10176	. . . 4 |- ( -u A e. QQ -> ( |_ ` -u A ) e. ZZ )
4	3	znegcld 9289	. . 3 |- ( -u A e. QQ -> -u ( |_ ` -u A ) e. ZZ )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( A e. QQ -> -u ( |_ ` -u A ) e. ZZ )
6		negeq 8069	. . . . 5 |- ( x = A -> -u x = -u A )
7	6	fveq2d 5473	. . . 4 |- ( x = A -> ( |_ ` -u x ) = ( |_ ` -u A ) )
8	7	negeqd 8071	. . 3 |- ( x = A -> -u ( |_ ` -u x ) = -u ( |_ ` -u A ) )
9		df-ceil 10174	. . 3 |- ⌈ = ( x e. RR |-> -u ( |_ ` -u x ) )
10	8, 9	fvmptg 5545	. 2 |- ( ( A e. RR /\ -u ( |_ ` -u A ) e. ZZ ) -> (⌈ ` A ) = -u ( |_ ` -u A ) )
11	1, 5, 10	syl2anc 409	1 |- ( A e. QQ -> (⌈ ` A ) = -u ( |_ ` -u A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   ` cfv 5171   RRcr 7732   -ucneg 8048   ZZcz 9168   QQcq 9529   |_cfl 10171  ⌈cceil 10172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-q 9530  df-rp 9562  df-fl 10173  df-ceil 10174

This theorem is referenced by:  ceilqcl  10211  ceilqge  10213  ceilqm1lt  10215  ceilqle  10217  ceilid  10218  ex-ceil  13344