Theorem ceilqval 10383

Description: The value of the ceiling function. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ceilqval	|- ( A e. QQ -> (⌈ ` A ) = -u ( |_ ` -u A ) )

Proof of Theorem ceilqval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9696	. 2 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2		qnegcl 9707	. . 3 |- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )
3		flqcl 10348	. . . 4 |- ( -u A e. QQ -> ( |_ ` -u A ) e. ZZ )
4	3	znegcld 9447	. . 3 |- ( -u A e. QQ -> -u ( |_ ` -u A ) e. ZZ )
5	2, 4	syl 14	. 2 |- ( A e. QQ -> -u ( |_ ` -u A ) e. ZZ )
6		negeq 8217	. . . . 5 |- ( x = A -> -u x = -u A )
7	6	fveq2d 5562	. . . 4 |- ( x = A -> ( |_ ` -u x ) = ( |_ ` -u A ) )
8	7	negeqd 8219	. . 3 |- ( x = A -> -u ( |_ ` -u x ) = -u ( |_ ` -u A ) )
9		df-ceil 10346	. . 3 |- ⌈ = ( x e. RR |-> -u ( |_ ` -u x ) )
10	8, 9	fvmptg 5637	. 2 |- ( ( A e. RR /\ -u ( |_ ` -u A ) e. ZZ ) -> (⌈ ` A ) = -u ( |_ ` -u A ) )
11	1, 5, 10	syl2anc 411	1 |- ( A e. QQ -> (⌈ ` A ) = -u ( |_ ` -u A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258   RRcr 7876   -ucneg 8196   ZZcz 9323   QQcq 9690   |_cfl 10343  ⌈cceil 10344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995  ax-arch 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-q 9691  df-rp 9726  df-fl 10345  df-ceil 10346

This theorem is referenced by:  ceilqcl  10385  ceilqge  10387  ceilqm1lt  10389  ceilqle  10391  ceilid  10392  ex-ceil  15339