ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ceilqval GIF version

Theorem ceilqval 10336
Description: The value of the ceiling function. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
ceilqval (𝐴 ∈ ℚ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))

Proof of Theorem ceilqval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qre 9654 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 qnegcl 9665 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)
3 flqcl 10303 . . . 4 (-𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
43znegcld 9406 . . 3 (-𝐴 ∈ ℚ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
52, 4syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
6 negeq 8179 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → -𝑥 = -𝐴)
76fveq2d 5538 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘-𝑥) = (⌊‘-𝐴))
87negeqd 8181 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → -(⌊‘-𝑥) = -(⌊‘-𝐴))
9 df-ceil 10301 . . 3 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥))
108, 9fvmptg 5612 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ) → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))
111, 5, 10syl2anc 411 1 (𝐴 ∈ ℚ → (⌈‘𝐴) = -(⌊‘-𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2160  cfv 5235  cr 7839  -cneg 8158  cz 9282  cq 9648  cfl 10298  cceil 10299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-q 9649  df-rp 9683  df-fl 10300  df-ceil 10301
This theorem is referenced by:  ceilqcl  10338  ceilqge  10340  ceilqm1lt  10342  ceilqle  10344  ceilid  10345  ex-ceil  14931
  Copyright terms: Public domain W3C validator