ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-ceil Unicode version

Theorem ex-ceil 14360
Description: Example for df-ceil 10268. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-ceil  |-  ( ( `  ( 3  /  2
) )  =  2  /\  ( `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u 1
)

Proof of Theorem ex-ceil
StepHypRef Expression
1 ex-fl 14359 . 2  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  /\  ( |_ `  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2 )
2 3z 9280 . . . . . . 7  |-  3  e.  ZZ
3 2nn 9078 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
4 znq 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( 3  /  2
)  e.  QQ )
52, 3, 4mp2an 426 . . . . . 6  |-  ( 3  /  2 )  e.  QQ
6 qnegcl 9634 . . . . . 6  |-  ( ( 3  /  2 )  e.  QQ  ->  -u (
3  /  2 )  e.  QQ )
75, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  -u (
3  /  2 )  e.  QQ
8 ceilqval 10303 . . . . 5  |-  ( -u ( 3  /  2
)  e.  QQ  ->  ( `  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u ( |_ `  -u -u ( 3  /  2
) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u ( |_ `  -u -u ( 3  / 
2 ) )
10 qcn 9632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  /  2 )  e.  QQ  ->  (
3  /  2 )  e.  CC )
115, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  2 )  e.  CC
1211negnegi 8225 . . . . . . . . 9  |-  -u -u (
3  /  2 )  =  ( 3  / 
2 )
1312eqcomi 2181 . . . . . . . 8  |-  ( 3  /  2 )  = 
-u -u ( 3  / 
2 )
1413fveq2i 5518 . . . . . . 7  |-  ( |_
`  ( 3  / 
2 ) )  =  ( |_ `  -u -u (
3  /  2 ) )
1514eqeq1i 2185 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  <->  ( |_ `  -u -u ( 3  / 
2 ) )  =  1 )
1615biimpi 120 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  ->  ( |_ `  -u -u ( 3  / 
2 ) )  =  1 )
1716negeqd 8150 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  ->  -u ( |_ `  -u -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 1 )
189, 17eqtrid 2222 . . 3  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  ->  ( `  -u ( 3  /  2
) )  =  -u
1 )
19 ceilqval 10303 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  e.  QQ  ->  ( `  ( 3  /  2
) )  =  -u ( |_ `  -u (
3  /  2 ) ) )
205, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `  (
3  /  2 ) )  =  -u ( |_ `  -u ( 3  / 
2 ) )
21 negeq 8148 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u 2  -> 
-u ( |_ `  -u ( 3  /  2
) )  =  -u -u 2 )
22 2cn 8988 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
2322negnegi 8225 . . . . 5  |-  -u -u 2  =  2
2421, 23eqtrdi 2226 . . . 4  |-  ( ( |_ `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u 2  -> 
-u ( |_ `  -u ( 3  /  2
) )  =  2 )
2520, 24eqtrid 2222 . . 3  |-  ( ( |_ `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u 2  ->  ( `  ( 3  /  2 ) )  =  2 )
2618, 25anim12ci 339 . 2  |-  ( ( ( |_ `  (
3  /  2 ) )  =  1  /\  ( |_ `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u 2
)  ->  ( ( `  ( 3  /  2
) )  =  2  /\  ( `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u 1
) )
271, 26ax-mp 5 1  |-  ( ( `  ( 3  /  2
) )  =  2  /\  ( `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u 1
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   1c1 7811   -ucneg 8127    / cdiv 8627   NNcn 8917   2c2 8968   3c3 8969   ZZcz 9251   QQcq 9617   |_cfl 10265  ⌈cceil 10266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-q 9618  df-rp 9652  df-fl 10267  df-ceil 10268
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator