Theorem cjadd 10848

Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readd 10833	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)))
2		imadd 10841	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
3	2	oveq2d 5869	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵))) = (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))
4		ax-icn 7869	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
6		imcl 10818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 7948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
9		imcl 10818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
10	9	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
11	10	recnd 7948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
12	5, 8, 11	adddid 7944	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵))))
13	3, 12	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵))))
14	1, 13	oveq12d 5871	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
15		recl 10817	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	16	recnd 7948	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
18		recl 10817	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
19	18	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
20	19	recnd 7948	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
21		mulcl 7901	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
22	4, 8, 21	sylancr 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23		mulcl 7901	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
24	4, 11, 23	sylancr 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
25	17, 20, 22, 24	addsub4d 8277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
26	14, 25	eqtrd 2203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
27		addcl 7899	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
28		remim 10824	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))))
29	27, 28	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))))
30		remim 10824	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
31		remim 10824	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) = ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))
32	30, 31	oveqan12d 5872	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
33	26, 29, 32	3eqtr4d 2213	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779   − cmin 8090  ∗ccj 10803  ℜcre 10804  ℑcim 10805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-2 8937  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808

This theorem is referenced by:  cjsub  10856  cjreim  10867  cjaddi  10896  cjaddd  10929  sqabsadd  11019  fsumcj  11437  efcj  11636