Theorem cjadd 11114

Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readd 11099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)))
2		imadd 11107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
3	2	oveq2d 5950	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵))) = (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))
4		ax-icn 8002	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
6		imcl 11084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 8083	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
9		imcl 11084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
10	9	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
11	10	recnd 8083	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
12	5, 8, 11	adddid 8079	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵))))
13	3, 12	eqtrd 2237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵))))
14	1, 13	oveq12d 5952	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
15		recl 11083	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	16	recnd 8083	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
18		recl 11083	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
19	18	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
20	19	recnd 8083	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
21		mulcl 8034	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
22	4, 8, 21	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23		mulcl 8034	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
24	4, 11, 23	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
25	17, 20, 22, 24	addsub4d 8412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
26	14, 25	eqtrd 2237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
27		addcl 8032	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
28		remim 11090	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))))
29	27, 28	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))))
30		remim 11090	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
31		remim 11090	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) = ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))
32	30, 31	oveqan12d 5953	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
33	26, 29, 32	3eqtr4d 2247	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  ℂcc 7905  ℝcr 7906  ici 7909   + caddc 7910   · cmul 7912   − cmin 8225  ∗ccj 11069  ℜcre 11070  ℑcim 11071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-2 9077  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074

This theorem is referenced by:  cjsub  11122  cjreim  11133  cjaddi  11162  cjaddd  11195  sqabsadd  11285  fsumcj  11704  efcj  11903