Theorem efcj 12184

Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efcj	|- ( A e. CC -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )

Proof of Theorem efcj

Dummy variables j k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 11359	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
2		eqid 2229	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
3	2	efcvg 12177	. . 3 |- ( ( * ` A ) e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) )
5		nn0uz 9757	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		eqid 2229	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	efcvg 12177	. . 3 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` A ) )
8		seqex 10671	. . . 4 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V )
10		0zd 9458	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 e. ZZ )
11	6	eftvalcn 12168	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
12		eftcl 12165	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
13	11, 12	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
14	5, 10, 13	serf 10705	. . . 4 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) : NN0 --> CC )
15	14	ffvelcdmda 5770	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) e. CC )
16		addcl 8124	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ m e. CC ) -> ( k + m ) e. CC )
17	16	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ ( k e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( k + m ) e. CC )
18		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
19		elnn0uz 9760	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
20	19	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
21	18, 20, 13	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
22		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> j e. NN0 )
23	22, 5	eleqtrdi 2322	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
24		cjadd 11395	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ m e. CC ) -> ( * ` ( k + m ) ) = ( ( * ` k ) + ( * ` m ) ) )
25	24	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ ( k e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( * ` ( k + m ) ) = ( ( * ` k ) + ( * ` m ) ) )
26		expcl 10779	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
27		faccl 10957	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
28	27	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
29	28	nncnd 9124	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
30	28	nnap0d 9156	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) # 0 )
31	26, 29, 30	cjdivapd 11479	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( * ` ( A ^ k ) ) / ( * ` ( ! ` k ) ) ) )
32		cjexp 11404	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( A ^ k ) ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
33	28	nnred 9123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
34	33	cjred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ! ` k ) ) = ( ! ` k ) )
35	32, 34	oveq12d 6019	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( * ` ( A ^ k ) ) / ( * ` ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36	31, 35	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
37	11	fveq2d 5631	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
38	2	eftvalcn 12168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( * ` A ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
39	1, 38	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
40	36, 37, 39	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) )
41	18, 20, 40	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) )
42	20	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> k e. NN0 )
43	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
44	43, 42	expcld 10895	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( * ` A ) ^ k ) e. CC )
45	18, 20, 29	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
46	18, 20, 30	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
47	44, 45, 46	divclapd 8937	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
48		oveq2 6009	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ( * ` A ) ^ n ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
49		fveq2 5627	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
50	48, 49	oveq12d 6019	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
51	50, 2	fvmptg 5710	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
52	42, 47, 51	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
53	52, 47	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
54	17, 21, 23, 25, 41, 53, 17	seq3homo 10749	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( * ` ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) ) = ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) )
55	54	eqcomd 2235	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) = ( * ` ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
56	5, 7, 9, 10, 15, 55	climcj 11832	. 2 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( * ` ( exp ` A ) ) )
57		climuni 11804	. 2 |- ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) /\ seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( * ` ( exp ` A ) ) ) -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )
58	4, 56, 57	syl2anc 411	1 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   + caddc 8002   # cap 8728   / cdiv 8819   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ZZ>=cuz 9722   seqcseq 10669   ^cexp 10760   !cfa 10947   *ccj 11350   ~~> cli 11789   expce 12153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-ico 10090  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-fac 10948  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865  df-ef 12159

This theorem is referenced by:  resinval  12226  recosval  12227