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Theorem efcj 11289
Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efcj  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  A ) )  =  ( * `  ( exp `  A ) ) )

Proof of Theorem efcj
Dummy variables  j  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjcl 10571 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
2 eqid 2115 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
32efcvg 11282 . . 3  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  ~~>  ( exp `  ( * `  A
) ) )
41, 3syl 14 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  ~~>  ( exp `  ( * `  A
) ) )
5 nn0uz 9312 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
6 eqid 2115 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76efcvg 11282 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  ~~>  ( exp `  A ) )
8 seqex 10171 . . . 4  |-  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )  e.  _V
98a1i 9 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  e. 
_V )
10 0zd 9020 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  ZZ )
116eftvalcn 11273 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
12 eftcl 11270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
1311, 12eqeltrd 2192 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
145, 10, 13serf 10198 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) : NN0 --> CC )
1514ffvelrnda 5521 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
(  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
16 addcl 7709 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( k  +  m
)  e.  CC )
1716adantl 273 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( k  +  m )  e.  CC )
18 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
19 elnn0uz 9315 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
2019biimpri 132 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  k  e.  NN0 )
2118, 20, 13syl2an 285 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
22 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
j  e.  NN0 )
2322, 5syl6eleq 2208 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
j  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
24 cjadd 10607 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( * `  (
k  +  m ) )  =  ( ( * `  k )  +  ( * `  m ) ) )
2524adantl 273 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( * `  ( k  +  m
) )  =  ( ( * `  k
)  +  ( * `
 m ) ) )
26 expcl 10262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
27 faccl 10432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
2827adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  NN )
2928nncnd 8694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  CC )
3028nnap0d 8726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
) #  0 )
3126, 29, 30cjdivapd 10691 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( * `  ( A ^ k ) )  /  ( * `  ( ! `  k ) ) ) )
32 cjexp 10616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  ( A ^ k ) )  =  ( ( * `
 A ) ^
k ) )
3328nnred 8693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  RR )
3433cjred 10694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  ( ! `  k )
)  =  ( ! `
 k ) )
3532, 34oveq12d 5758 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( * `  ( A ^ k ) )  /  ( * `
 ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ( * `  A ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
3631, 35eqtrd 2148 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ( * `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
3711fveq2d 5391 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( * `  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
382eftvalcn 11273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( ( * `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
391, 38sylan 279 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( ( * `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
4036, 37, 393eqtr4d 2158 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )
4118, 20, 40syl2an 285 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( * `  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )
4220adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  k  e.  NN0 )
431ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( * `  A )  e.  CC )
4443, 42expcld 10375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( * `
 A ) ^
k )  e.  CC )
4518, 20, 29syl2an 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
4618, 20, 30syl2an 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ! `  k ) #  0 )
4744, 45, 46divclapd 8513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( ( * `  A ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
48 oveq2 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( * `  A
) ^ n )  =  ( ( * `
 A ) ^
k ) )
49 fveq2 5387 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
5048, 49oveq12d 5758 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( * `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) )  =  ( ( ( * `  A ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
5150, 2fvmptg 5463 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ( ( * `
 A ) ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( ( * `
 A ) ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
5242, 47, 51syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( ( * `
 A ) ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
5352, 47eqeltrd 2192 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
5417, 21, 23, 25, 41, 53, 17seq3homo 10234 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( * `  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) `  j ) )  =  (  seq 0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) ) `  j ) )
5554eqcomd 2121 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
(  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) ) `
 j )  =  ( * `  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) `  j ) ) )
565, 7, 9, 10, 15, 55climcj 11041 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  ~~>  ( * `
 ( exp `  A
) ) )
57 climuni 11013 . 2  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  ~~>  ( exp `  (
* `  A )
)  /\  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )  ~~>  ( * `  ( exp `  A ) ) )  ->  ( exp `  ( * `  A ) )  =  ( * `  ( exp `  A ) ) )
584, 56, 57syl2anc 406 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  A ) )  =  ( * `  ( exp `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   0cc0 7584    + caddc 7587   # cap 8306    / cdiv 8395   NNcn 8680   NN0cn0 8931   ZZ>=cuz 9278    seqcseq 10169   ^cexp 10243   !cfa 10422   *ccj 10562    ~~> cli 10998   expce 11258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-ico 9628  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-fac 10423  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074  df-ef 11264
This theorem is referenced by:  resinval  11332  recosval  11333
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