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Theorem efcj 11681
Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efcj  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  A ) )  =  ( * `  ( exp `  A ) ) )

Proof of Theorem efcj
Dummy variables  j  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjcl 10857 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
2 eqid 2177 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
32efcvg 11674 . . 3  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  ~~>  ( exp `  ( * `  A
) ) )
41, 3syl 14 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  ~~>  ( exp `  ( * `  A
) ) )
5 nn0uz 9562 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
6 eqid 2177 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76efcvg 11674 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  ~~>  ( exp `  A ) )
8 seqex 10447 . . . 4  |-  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )  e.  _V
98a1i 9 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  e. 
_V )
10 0zd 9265 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  ZZ )
116eftvalcn 11665 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
12 eftcl 11662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
1311, 12eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
145, 10, 13serf 10474 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) : NN0 --> CC )
1514ffvelcdmda 5652 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
(  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
16 addcl 7936 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( k  +  m
)  e.  CC )
1716adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( k  +  m )  e.  CC )
18 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
19 elnn0uz 9565 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
2019biimpri 133 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  k  e.  NN0 )
2118, 20, 13syl2an 289 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
22 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
j  e.  NN0 )
2322, 5eleqtrdi 2270 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
j  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
24 cjadd 10893 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( * `  (
k  +  m ) )  =  ( ( * `  k )  +  ( * `  m ) ) )
2524adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( * `  ( k  +  m
) )  =  ( ( * `  k
)  +  ( * `
 m ) ) )
26 expcl 10538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
27 faccl 10715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
2827adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  NN )
2928nncnd 8933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  CC )
3028nnap0d 8965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
) #  0 )
3126, 29, 30cjdivapd 10977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( * `  ( A ^ k ) )  /  ( * `  ( ! `  k ) ) ) )
32 cjexp 10902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  ( A ^ k ) )  =  ( ( * `
 A ) ^
k ) )
3328nnred 8932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  RR )
3433cjred 10980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  ( ! `  k )
)  =  ( ! `
 k ) )
3532, 34oveq12d 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( * `  ( A ^ k ) )  /  ( * `
 ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ( * `  A ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
3631, 35eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ( * `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
3711fveq2d 5520 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( * `  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
382eftvalcn 11665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( ( * `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
391, 38sylan 283 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( ( * `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
4036, 37, 393eqtr4d 2220 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )
4118, 20, 40syl2an 289 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( * `  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )
4220adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  k  e.  NN0 )
431ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( * `  A )  e.  CC )
4443, 42expcld 10654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( * `
 A ) ^
k )  e.  CC )
4518, 20, 29syl2an 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
4618, 20, 30syl2an 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ! `  k ) #  0 )
4744, 45, 46divclapd 8747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( ( * `  A ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
48 oveq2 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( * `  A
) ^ n )  =  ( ( * `
 A ) ^
k ) )
49 fveq2 5516 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
5048, 49oveq12d 5893 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( * `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) )  =  ( ( ( * `  A ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
5150, 2fvmptg 5593 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ( ( * `
 A ) ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( ( * `
 A ) ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
5242, 47, 51syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( ( * `
 A ) ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
5352, 47eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
5417, 21, 23, 25, 41, 53, 17seq3homo 10510 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( * `  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) `  j ) )  =  (  seq 0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) ) `  j ) )
5554eqcomd 2183 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
(  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) ) `
 j )  =  ( * `  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) `  j ) ) )
565, 7, 9, 10, 15, 55climcj 11329 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  ~~>  ( * `
 ( exp `  A
) ) )
57 climuni 11301 . 2  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  ~~>  ( exp `  (
* `  A )
)  /\  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )  ~~>  ( * `  ( exp `  A ) ) )  ->  ( exp `  ( * `  A ) )  =  ( * `  ( exp `  A ) ) )
584, 56, 57syl2anc 411 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  A ) )  =  ( * `  ( exp `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2738   class class class wbr 4004    |-> cmpt 4065   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   0cc0 7811    + caddc 7814   # cap 8538    / cdiv 8629   NNcn 8919   NN0cn0 9176   ZZ>=cuz 9528    seqcseq 10445   ^cexp 10519   !cfa 10705   *ccj 10848    ~~> cli 11286   expce 11650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656
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