Theorem efcj 11636

Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efcj	|- ( A e. CC -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )

Proof of Theorem efcj

Dummy variables j k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 10812	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
2		eqid 2170	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
3	2	efcvg 11629	. . 3 |- ( ( * ` A ) e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) )
5		nn0uz 9521	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		eqid 2170	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	efcvg 11629	. . 3 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` A ) )
8		seqex 10403	. . . 4 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V )
10		0zd 9224	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 e. ZZ )
11	6	eftvalcn 11620	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
12		eftcl 11617	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
13	11, 12	eqeltrd 2247	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
14	5, 10, 13	serf 10430	. . . 4 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) : NN0 --> CC )
15	14	ffvelrnda 5631	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) e. CC )
16		addcl 7899	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ m e. CC ) -> ( k + m ) e. CC )
17	16	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ ( k e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( k + m ) e. CC )
18		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
19		elnn0uz 9524	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
20	19	biimpri 132	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
21	18, 20, 13	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
22		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> j e. NN0 )
23	22, 5	eleqtrdi 2263	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
24		cjadd 10848	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ m e. CC ) -> ( * ` ( k + m ) ) = ( ( * ` k ) + ( * ` m ) ) )
25	24	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ ( k e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( * ` ( k + m ) ) = ( ( * ` k ) + ( * ` m ) ) )
26		expcl 10494	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
27		faccl 10669	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
28	27	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
29	28	nncnd 8892	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
30	28	nnap0d 8924	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) # 0 )
31	26, 29, 30	cjdivapd 10932	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( * ` ( A ^ k ) ) / ( * ` ( ! ` k ) ) ) )
32		cjexp 10857	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( A ^ k ) ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
33	28	nnred 8891	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
34	33	cjred 10935	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ! ` k ) ) = ( ! ` k ) )
35	32, 34	oveq12d 5871	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( * ` ( A ^ k ) ) / ( * ` ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36	31, 35	eqtrd 2203	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
37	11	fveq2d 5500	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
38	2	eftvalcn 11620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( * ` A ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
39	1, 38	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
40	36, 37, 39	3eqtr4d 2213	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) )
41	18, 20, 40	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) )
42	20	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> k e. NN0 )
43	1	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
44	43, 42	expcld 10609	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( * ` A ) ^ k ) e. CC )
45	18, 20, 29	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
46	18, 20, 30	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
47	44, 45, 46	divclapd 8707	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
48		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ( * ` A ) ^ n ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
49		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
50	48, 49	oveq12d 5871	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
51	50, 2	fvmptg 5572	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
52	42, 47, 51	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
53	52, 47	eqeltrd 2247	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
54	17, 21, 23, 25, 41, 53, 17	seq3homo 10466	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( * ` ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) ) = ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) )
55	54	eqcomd 2176	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) = ( * ` ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
56	5, 7, 9, 10, 15, 55	climcj 11284	. 2 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( * ` ( exp ` A ) ) )
57		climuni 11256	. 2 |- ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) /\ seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( * ` ( exp ` A ) ) ) -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )
58	4, 56, 57	syl2anc 409	1 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   + caddc 7777   # cap 8500   / cdiv 8589   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZ>=cuz 9487   seqcseq 10401   ^cexp 10475   !cfa 10659   *ccj 10803   ~~> cli 11241   expce 11605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611

This theorem is referenced by:  resinval  11678  recosval  11679