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Theorem efcj 11017
Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efcj  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  A ) )  =  ( * `  ( exp `  A ) ) )

Proof of Theorem efcj
Dummy variables  j  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjcl 10336 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
2 eqid 2089 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
32efcvg 11010 . . 3  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  ~~>  ( exp `  ( * `  A
) ) )
41, 3syl 14 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  ~~>  ( exp `  ( * `  A
) ) )
5 nn0uz 9107 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
6 eqid 2089 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76efcvg 11010 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  ~~>  ( exp `  A ) )
8 seqex 9911 . . . 4  |-  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )  e.  _V
98a1i 9 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  e. 
_V )
10 0zd 8816 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  ZZ )
116eftvalcn 11001 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
12 eftcl 10998 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
1311, 12eqeltrd 2165 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
145, 10, 13serf 9954 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) : NN0 --> CC )
1514ffvelrnda 5448 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
(  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
16 addcl 7521 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( k  +  m
)  e.  CC )
1716adantl 272 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( k  +  m )  e.  CC )
18 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
19 elnn0uz 9110 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
2019biimpri 132 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  k  e.  NN0 )
2118, 20, 13syl2an 284 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
22 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
j  e.  NN0 )
2322, 5syl6eleq 2181 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
j  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
24 cjadd 10372 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( * `  (
k  +  m ) )  =  ( ( * `  k )  +  ( * `  m ) ) )
2524adantl 272 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  ( k  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( * `  ( k  +  m
) )  =  ( ( * `  k
)  +  ( * `
 m ) ) )
26 expcl 10027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
27 faccl 10197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
2827adantl 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  NN )
2928nncnd 8490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  CC )
3028nnap0d 8522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
) #  0 )
3126, 29, 30cjdivapd 10456 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( * `  ( A ^ k ) )  /  ( * `  ( ! `  k ) ) ) )
32 cjexp 10381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  ( A ^ k ) )  =  ( ( * `
 A ) ^
k ) )
3328nnred 8489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  RR )
3433cjred 10459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  ( ! `  k )
)  =  ( ! `
 k ) )
3532, 34oveq12d 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( * `  ( A ^ k ) )  /  ( * `
 ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ( * `  A ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
3631, 35eqtrd 2121 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ( * `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
3711fveq2d 5322 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( * `  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
382eftvalcn 11001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( ( * `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
391, 38sylan 278 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( ( * `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
4036, 37, 393eqtr4d 2131 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( * `  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )
4118, 20, 40syl2an 284 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( * `  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  =  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )
4220adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  k  e.  NN0 )
431ad2antrr 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( * `  A )  e.  CC )
4443, 42expcld 10140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( * `
 A ) ^
k )  e.  CC )
4518, 20, 29syl2an 284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
4618, 20, 30syl2an 284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ! `  k ) #  0 )
4744, 45, 46divclapd 8311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( ( * `  A ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
48 oveq2 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( * `  A
) ^ n )  =  ( ( * `
 A ) ^
k ) )
49 fveq2 5318 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
5048, 49oveq12d 5684 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( * `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) )  =  ( ( ( * `  A ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
5150, 2fvmptg 5393 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ( ( * `
 A ) ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( ( * `
 A ) ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
5242, 47, 51syl2anc 404 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( ( * `
 A ) ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
5352, 47eqeltrd 2165 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
5417, 21, 23, 25, 41, 53, 17seq3homo 9998 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( * `  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) `  j ) )  =  (  seq 0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) ) `  j ) )
5554eqcomd 2094 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
(  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) ) `
 j )  =  ( * `  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) `  j ) ) )
565, 7, 9, 10, 15, 55climcj 10763 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `
 A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  ~~>  ( * `
 ( exp `  A
) ) )
57 climuni 10735 . 2  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( * `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  ~~>  ( exp `  (
* `  A )
)  /\  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( * `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )  ~~>  ( * `  ( exp `  A ) ) )  ->  ( exp `  ( * `  A ) )  =  ( * `  ( exp `  A ) ) )
584, 56, 57syl2anc 404 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  A ) )  =  ( * `  ( exp `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439   _Vcvv 2620   class class class wbr 3851    |-> cmpt 3905   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7402   0cc0 7404    + caddc 7407   # cap 8112    / cdiv 8193   NNcn 8476   NN0cn0 8727   ZZ>=cuz 9073    seqcseq 9906   ^cexp 10008   !cfa 10187   *ccj 10327    ~~> cli 10720   expce 10986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518  ax-caucvg 7519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-q 9159  df-rp 9189  df-ico 9366  df-fz 9479  df-fzo 9608  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-fac 10188  df-ihash 10238  df-cj 10330  df-re 10331  df-im 10332  df-rsqrt 10485  df-abs 10486  df-clim 10721  df-isum 10797  df-ef 10992
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