Theorem efcj 11614

Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efcj	|- ( A e. CC -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )

Proof of Theorem efcj

Dummy variables j k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 10790	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
2		eqid 2165	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
3	2	efcvg 11607	. . 3 |- ( ( * ` A ) e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) )
5		nn0uz 9500	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		eqid 2165	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	efcvg 11607	. . 3 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` A ) )
8		seqex 10382	. . . 4 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V )
10		0zd 9203	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 e. ZZ )
11	6	eftvalcn 11598	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
12		eftcl 11595	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
13	11, 12	eqeltrd 2243	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
14	5, 10, 13	serf 10409	. . . 4 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) : NN0 --> CC )
15	14	ffvelrnda 5620	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) e. CC )
16		addcl 7878	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ m e. CC ) -> ( k + m ) e. CC )
17	16	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ ( k e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( k + m ) e. CC )
18		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
19		elnn0uz 9503	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
20	19	biimpri 132	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
21	18, 20, 13	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
22		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> j e. NN0 )
23	22, 5	eleqtrdi 2259	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
24		cjadd 10826	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ m e. CC ) -> ( * ` ( k + m ) ) = ( ( * ` k ) + ( * ` m ) ) )
25	24	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ ( k e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( * ` ( k + m ) ) = ( ( * ` k ) + ( * ` m ) ) )
26		expcl 10473	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
27		faccl 10648	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
28	27	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
29	28	nncnd 8871	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
30	28	nnap0d 8903	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) # 0 )
31	26, 29, 30	cjdivapd 10910	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( * ` ( A ^ k ) ) / ( * ` ( ! ` k ) ) ) )
32		cjexp 10835	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( A ^ k ) ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
33	28	nnred 8870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
34	33	cjred 10913	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ! ` k ) ) = ( ! ` k ) )
35	32, 34	oveq12d 5860	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( * ` ( A ^ k ) ) / ( * ` ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36	31, 35	eqtrd 2198	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
37	11	fveq2d 5490	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
38	2	eftvalcn 11598	. . . . . . . 8 |- ( ( ( * ` A ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
39	1, 38	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
40	36, 37, 39	3eqtr4d 2208	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) )
41	18, 20, 40	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) )
42	20	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> k e. NN0 )
43	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
44	43, 42	expcld 10588	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( * ` A ) ^ k ) e. CC )
45	18, 20, 29	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
46	18, 20, 30	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
47	44, 45, 46	divclapd 8686	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
48		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ( * ` A ) ^ n ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
49		fveq2 5486	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
50	48, 49	oveq12d 5860	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
51	50, 2	fvmptg 5562	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
52	42, 47, 51	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
53	52, 47	eqeltrd 2243	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
54	17, 21, 23, 25, 41, 53, 17	seq3homo 10445	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( * ` ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) ) = ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) )
55	54	eqcomd 2171	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) = ( * ` ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
56	5, 7, 9, 10, 15, 55	climcj 11262	. 2 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( * ` ( exp ` A ) ) )
57		climuni 11234	. 2 |- ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) /\ seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( * ` ( exp ` A ) ) ) -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )
58	4, 56, 57	syl2anc 409	1 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   + caddc 7756   # cap 8479   / cdiv 8568   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ZZ>=cuz 9466   seqcseq 10380   ^cexp 10454   !cfa 10638   *ccj 10781   ~~> cli 11219   expce 11583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589

This theorem is referenced by:  resinval  11656  recosval  11657