Theorem efcj 11838

Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efcj	|- ( A e. CC -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )

Proof of Theorem efcj

Dummy variables j k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 11013	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
2		eqid 2196	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
3	2	efcvg 11831	. . 3 |- ( ( * ` A ) e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) )
5		nn0uz 9636	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		eqid 2196	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	efcvg 11831	. . 3 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` A ) )
8		seqex 10541	. . . 4 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V )
10		0zd 9338	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 e. ZZ )
11	6	eftvalcn 11822	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
12		eftcl 11819	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
13	11, 12	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
14	5, 10, 13	serf 10575	. . . 4 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) : NN0 --> CC )
15	14	ffvelcdmda 5697	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) e. CC )
16		addcl 8004	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ m e. CC ) -> ( k + m ) e. CC )
17	16	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ ( k e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( k + m ) e. CC )
18		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
19		elnn0uz 9639	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
20	19	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
21	18, 20, 13	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
22		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> j e. NN0 )
23	22, 5	eleqtrdi 2289	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
24		cjadd 11049	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ m e. CC ) -> ( * ` ( k + m ) ) = ( ( * ` k ) + ( * ` m ) ) )
25	24	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ ( k e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( * ` ( k + m ) ) = ( ( * ` k ) + ( * ` m ) ) )
26		expcl 10649	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
27		faccl 10827	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
28	27	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
29	28	nncnd 9004	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
30	28	nnap0d 9036	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) # 0 )
31	26, 29, 30	cjdivapd 11133	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( * ` ( A ^ k ) ) / ( * ` ( ! ` k ) ) ) )
32		cjexp 11058	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( A ^ k ) ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
33	28	nnred 9003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
34	33	cjred 11136	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ! ` k ) ) = ( ! ` k ) )
35	32, 34	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( * ` ( A ^ k ) ) / ( * ` ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36	31, 35	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
37	11	fveq2d 5562	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
38	2	eftvalcn 11822	. . . . . . . 8 |- ( ( ( * ` A ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
39	1, 38	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
40	36, 37, 39	3eqtr4d 2239	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) )
41	18, 20, 40	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) )
42	20	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> k e. NN0 )
43	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
44	43, 42	expcld 10765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( * ` A ) ^ k ) e. CC )
45	18, 20, 29	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
46	18, 20, 30	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
47	44, 45, 46	divclapd 8817	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
48		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ( * ` A ) ^ n ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
49		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
50	48, 49	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
51	50, 2	fvmptg 5637	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
52	42, 47, 51	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
53	52, 47	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
54	17, 21, 23, 25, 41, 53, 17	seq3homo 10619	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( * ` ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) ) = ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) )
55	54	eqcomd 2202	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) = ( * ` ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
56	5, 7, 9, 10, 15, 55	climcj 11486	. 2 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( * ` ( exp ` A ) ) )
57		climuni 11458	. 2 |- ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) /\ seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( * ` ( exp ` A ) ) ) -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )
58	4, 56, 57	syl2anc 411	1 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   + caddc 7882   # cap 8608   / cdiv 8699   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZ>=cuz 9601   seqcseq 10539   ^cexp 10630   !cfa 10817   *ccj 11004   ~~> cli 11443   expce 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813

This theorem is referenced by:  resinval  11880  recosval  11881