Theorem efcj 11570

Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efcj	|- ( A e. CC -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )

Proof of Theorem efcj

Dummy variables j k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 10748	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
2		eqid 2157	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
3	2	efcvg 11563	. . 3 |- ( ( * ` A ) e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) )
5		nn0uz 9473	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		eqid 2157	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	efcvg 11563	. . 3 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` A ) )
8		seqex 10346	. . . 4 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V )
10		0zd 9179	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 e. ZZ )
11	6	eftvalcn 11554	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
12		eftcl 11551	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
13	11, 12	eqeltrd 2234	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
14	5, 10, 13	serf 10373	. . . 4 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) : NN0 --> CC )
15	14	ffvelrnda 5602	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) e. CC )
16		addcl 7857	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ m e. CC ) -> ( k + m ) e. CC )
17	16	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ ( k e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( k + m ) e. CC )
18		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
19		elnn0uz 9476	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
20	19	biimpri 132	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
21	18, 20, 13	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
22		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> j e. NN0 )
23	22, 5	eleqtrdi 2250	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
24		cjadd 10784	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ m e. CC ) -> ( * ` ( k + m ) ) = ( ( * ` k ) + ( * ` m ) ) )
25	24	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ ( k e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( * ` ( k + m ) ) = ( ( * ` k ) + ( * ` m ) ) )
26		expcl 10437	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
27		faccl 10609	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
28	27	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
29	28	nncnd 8847	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
30	28	nnap0d 8879	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) # 0 )
31	26, 29, 30	cjdivapd 10868	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( * ` ( A ^ k ) ) / ( * ` ( ! ` k ) ) ) )
32		cjexp 10793	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( A ^ k ) ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
33	28	nnred 8846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
34	33	cjred 10871	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ! ` k ) ) = ( ! ` k ) )
35	32, 34	oveq12d 5842	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( * ` ( A ^ k ) ) / ( * ` ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36	31, 35	eqtrd 2190	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
37	11	fveq2d 5472	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( * ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
38	2	eftvalcn 11554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( * ` A ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
39	1, 38	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
40	36, 37, 39	3eqtr4d 2200	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) )
41	18, 20, 40	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( * ` ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) )
42	20	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> k e. NN0 )
43	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
44	43, 42	expcld 10551	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( * ` A ) ^ k ) e. CC )
45	18, 20, 29	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
46	18, 20, 30	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
47	44, 45, 46	divclapd 8663	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
48		oveq2 5832	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ( * ` A ) ^ n ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
49		fveq2 5468	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
50	48, 49	oveq12d 5842	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
51	50, 2	fvmptg 5544	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
52	42, 47, 51	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( ( * ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
53	52, 47	eqeltrd 2234	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
54	17, 21, 23, 25, 41, 53, 17	seq3homo 10409	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( * ` ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) ) = ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) )
55	54	eqcomd 2163	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) = ( * ` ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
56	5, 7, 9, 10, 15, 55	climcj 11218	. 2 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( * ` ( exp ` A ) ) )
57		climuni 11190	. 2 |- ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( exp ` ( * ` A ) ) /\ seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( * ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) ~~> ( * ` ( exp ` A ) ) ) -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )
58	4, 56, 57	syl2anc 409	1 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( exp ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   class class class wbr 3965   |-> cmpt 4025   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   CCcc 7730   0cc0 7732   + caddc 7735   # cap 8456   / cdiv 8545   NNcn 8833   NN0cn0 9090   ZZ>=cuz 9439   seqcseq 10344   ^cexp 10418   !cfa 10599   *ccj 10739   ~~> cli 11175   expce 11539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-ico 9798  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-fac 10600  df-ihash 10650  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-sumdc 11251  df-ef 11545

This theorem is referenced by:  resinval  11612  recosval  11613