Theorem climeu 11237

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 25-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
climeu	⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → ∃!𝑥 𝐹 ⇝ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem climeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcl 11223	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		breq2 3986	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
3	2	spcegv 2814	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 ⇝ 𝐴 → ∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦))
4	1, 3	mpcom 36	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → ∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦)
5		climuni 11234	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
6	5	gen2 1438	. . 3 ⊢ ∀𝑦∀𝑥((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
7	4, 6	jctir 311	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑥((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)))
8		nfv 1516	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐹 ⇝ 𝑥
9		nfv 1516	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹 ⇝ 𝑦
10		breq2 3986	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 ⇝ 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑦))
11	8, 9, 10	cbveu 2038	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 𝐹 ⇝ 𝑥 ↔ ∃!𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦)
12		breq2 3986	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑥))
13	12	eu4 2076	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑥((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)))
14	11, 13	bitri 183	. 2 ⊢ (∃!𝑥 𝐹 ⇝ 𝑥 ↔ (∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑥((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)))
15	7, 14	sylibr 133	1 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → ∃!𝑥 𝐹 ⇝ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∀wal 1341  ∃wex 1480  ∃!weu 2014   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ℂcc 7751   ⇝ cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220

This theorem is referenced by:  climreu  11238  climmo  11239