Theorem climeu 11259

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 25-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
climeu	⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → ∃!𝑥 𝐹 ⇝ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem climeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcl 11245	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		breq2 3993	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
3	2	spcegv 2818	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 ⇝ 𝐴 → ∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦))
4	1, 3	mpcom 36	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → ∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦)
5		climuni 11256	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
6	5	gen2 1443	. . 3 ⊢ ∀𝑦∀𝑥((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
7	4, 6	jctir 311	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑥((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)))
8		nfv 1521	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐹 ⇝ 𝑥
9		nfv 1521	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐹 ⇝ 𝑦
10		breq2 3993	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 ⇝ 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑦))
11	8, 9, 10	cbveu 2043	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 𝐹 ⇝ 𝑥 ↔ ∃!𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦)
12		breq2 3993	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑥))
13	12	eu4 2081	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑥((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)))
14	11, 13	bitri 183	. 2 ⊢ (∃!𝑥 𝐹 ⇝ 𝑥 ↔ (∃𝑦 𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ ∀𝑦∀𝑥((𝐹 ⇝ 𝑦 ∧ 𝐹 ⇝ 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)))
15	7, 14	sylibr 133	1 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → ∃!𝑥 𝐹 ⇝ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∀wal 1346  ∃wex 1485  ∃!weu 2019   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ℂcc 7772   ⇝ cli 11241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242

This theorem is referenced by:  climreu  11260  climmo  11261