Theorem clwwlknp 16429

Description: Properties of a set being a closed walk (represented by a word). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isclwwlknx.v	|- V = (Vtx ` G )
isclwwlknx.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
clwwlknp	|- ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) )

Distinct variable groups:   i, G   i, W   i, N

Allowed substitution hints:   E( i)   V( i)

Proof of Theorem clwwlknp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwwlknx.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2	1	clwwlknbp 16427	. . 3 |- ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( W e. ( N ClWWalksN G ) /\ ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) ) -> ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) )
4		clwwlknnn 16424	. . . . . . 7 |- ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> N e. NN )
5		isclwwlknx.e	. . . . . . . . 9 |- E = (Edg ` G )
6	1, 5	isclwwlknx 16428	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( W e. ( N ClWWalksN G ) <-> ( ( W e. Word V /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) /\ (♯ ` W ) = N ) ) )
7		3simpc 1023	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) )
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) /\ (♯ ` W ) = N ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) )
9	6, 8	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) )
10	4, 9	mpcom 36	. . . . . 6 |- ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( W e. ( N ClWWalksN G ) /\ ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) )
12		oveq1 6059	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` W ) = N -> ( (♯ ` W ) - 1 ) = ( N - 1 ) )
13	12	oveq2d 6068	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` W ) = N -> ( 0..^ ( (♯ ` W ) - 1 ) ) = ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
14	13	raleqdv 2749	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` W ) = N -> ( A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E <-> A. i e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E ) )
15	14	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) = N -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) )
16	15	ad2antll 491	. . . . 5 |- ( ( W e. ( N ClWWalksN G ) /\ ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) )
17	11, 16	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( W e. ( N ClWWalksN G ) /\ ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) )
18	3, 17	jca 306	. . 3 |- ( ( W e. ( N ClWWalksN G ) /\ ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) ) -> ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) )
19	2, 18	mpdan 421	. 2 |- ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) )
20		3anass 1009	. 2 |- ( ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) <-> ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) )
21	19, 20	sylibr 134	1 |- ( W e. ( N ClWWalksN G ) -> ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {cpr 3692   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   - cmin 8446   NNcn 9239  ..^cfzo 10480  ♯chash 11142  Word cword 11228  lastSclsw 11273  Vtxcvtx 16024  Edgcedg 16069   ClWWalksN cclwwlkn 16415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-ihash 11143  df-word 11229  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-vtx 16026  df-clwwlk 16404  df-clwwlkn 16416

This theorem is referenced by:  umgr2cwwk2dif  16436  clwwlknun  16453