Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  conjmulap Unicode version

Theorem conjmulap 8533
 Description: Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and satisfy this relationship. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
conjmulap # #

Proof of Theorem conjmulap
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . . . . 7 # #
2 simprl 521 . . . . . . 7 # #
3 recclap 8483 . . . . . . . 8 #
43adantr 274 . . . . . . 7 # #
51, 2, 4mul32d 7959 . . . . . 6 # #
6 recidap 8490 . . . . . . . 8 #
76oveq1d 5798 . . . . . . 7 #
87adantr 274 . . . . . 6 # #
9 mulid2 7808 . . . . . . 7
109ad2antrl 482 . . . . . 6 # #
115, 8, 103eqtrd 2177 . . . . 5 # #
12 recclap 8483 . . . . . . . 8 #
1312adantl 275 . . . . . . 7 # #
141, 2, 13mulassd 7833 . . . . . 6 # #
15 recidap 8490 . . . . . . . 8 #
1615oveq2d 5799 . . . . . . 7 #
1716adantl 275 . . . . . 6 # #
18 mulid1 7807 . . . . . . 7
1918ad2antrr 480 . . . . . 6 # #
2014, 17, 193eqtrd 2177 . . . . 5 # #
2111, 20oveq12d 5801 . . . 4 # #
22 mulcl 7791 . . . . . 6
2322ad2ant2r 501 . . . . 5 # #
2423, 4, 13adddid 7834 . . . 4 # #
25 addcom 7943 . . . . 5
2625ad2ant2r 501 . . . 4 # #
2721, 24, 263eqtr4d 2183 . . 3 # #
2822mulid1d 7827 . . . 4
2928ad2ant2r 501 . . 3 # #
3027, 29eqeq12d 2155 . 2 # #
31 addcl 7789 . . . 4
323, 12, 31syl2an 287 . . 3 # #
33 mulap0 8459 . . 3 # # #
34 ax-1cn 7757 . . . 4
35 mulcanap 8470 . . . 4 #
3634, 35mp3an2 1304 . . 3 #
3732, 23, 33, 36syl12anc 1215 . 2 # #
38 eqcom 2142 . . . 4
39 muleqadd 8473 . . . 4
4038, 39syl5bb 191 . . 3
4140ad2ant2r 501 . 2 # #
4230, 37, 413bitr3d 217 1 # #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481   class class class wbr 3938  (class class class)co 5783  cc 7662  cc0 7664  c1 7665   caddc 7667   cmul 7669   cmin 7977   # cap 8387   cdiv 8476 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator