Theorem depindlem3 16732

Description: Lemma for depind 16733. (Contributed by Matthew House, 14-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
depind.p	|- ( ph -> P : NN0 --> _V )
depind.0	|- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
depind.h	|- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
depindlem1.4	|- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
depindlem3	|- ( ph -> A. f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ( ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) -> f = F ) )

Distinct variable groups:   f, h, n, x   ph, f   A, f, m, n   n, F   f, H, m, n   P, f, n

Allowed substitution hints:   ph( x, h, m, n)   A( x, h)   P( x, h, m)   F( x, f, h, m)   H( x, h)

Proof of Theorem depindlem3

Dummy variables y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfn 6980	. . . . 5 |- ( f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) -> f Fn NN0 )
2	1	ad2antlr 493	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> f Fn NN0 )
3		depind.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P : NN0 --> _V )
4		depind.0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
5		depind.h	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
6		depindlem1.4	. . . . . . . 8 |- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )
7	3, 4, 5, 6	depindlem1 16730	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )
8	7	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )
9	8	simp1d 1040	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> F : NN0 --> _V )
10	9	ffnd 5532	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> F Fn NN0 )
11		fveq2 5693	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( f ` y ) = ( f ` 0 ) )
12		fveq2 5693	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( F ` y ) = ( F ` 0 ) )
13	11, 12	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( ( f ` y ) = ( F ` y ) <-> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) ) )
14	13	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
15		fveq2 5693	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( f ` y ) = ( f ` k ) )
16		fveq2 5693	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
17	15, 16	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( y = k -> ( ( f ` y ) = ( F ` y ) <-> ( f ` k ) = ( F ` k ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) ) ) )
19		fveq2 5693	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( f ` y ) = ( f ` ( k + 1 ) ) )
20		fveq2 5693	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
21	19, 20	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( ( f ` y ) = ( F ` y ) <-> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
22	21	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
23		simprl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` 0 ) = A )
24	8	simp2d 1041	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( F ` 0 ) = A )
25	23, 24	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
26		fveq2 5693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` k ) = ( F ` k ) -> ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
27	26	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
28		simplrr 542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) -> A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) )
29		fvoveq1 6102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( f ` ( n + 1 ) ) = ( f ` ( k + 1 ) ) )
30		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( H ` n ) = ( H ` k ) )
31		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
32	30, 31	fveq12d 5700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) = ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) )
33	29, 32	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) <-> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) ) )
34	33	rspccva 2928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) )
35	28, 34	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) )
36	8	simp3d 1042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) -> A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) )
38		fvoveq1 6102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
39		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
40	30, 39	fveq12d 5700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
41	38, 40	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) ) )
42	41	rspccva 2928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
43	37, 42	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
44	27, 35, 43	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
45	44	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( ( f ` k ) = ( F ` k ) -> ( k e. NN0 -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
46	45	com3r 79	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( ( f ` k ) = ( F ` k ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
47	46	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) ) -> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
48	14, 18, 22, 18, 25, 47	nn0ind 9743	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) ) )
49	48	impcom 125	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) )
50	2, 10, 49	eqfnfvd 5803	. . 3 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> f = F )
51	50	ex 115	. 2 |- ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) -> ( ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) -> f = F ) )
52	51	ralrimiva 2623	1 |- ( ph -> A. f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ( ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) -> f = F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   ifcif 3638   |-> cmpt 4190   Fn wfn 5370   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   e. cmpo 6081   X_cixp 6974   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   - cmin 8491   NN0cn0 9546   seqcseq 10867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-ixp 6975  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-seqfrec 10868

This theorem is referenced by:  depind  16733