Theorem depindlem3 16552

Description: Lemma for depind 16553. (Contributed by Matthew House, 14-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
depind.p	|- ( ph -> P : NN0 --> _V )
depind.0	|- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
depind.h	|- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
depindlem1.4	|- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
depindlem3	|- ( ph -> A. f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ( ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) -> f = F ) )

Distinct variable groups:   f, h, n, x   ph, f   A, f, m, n   n, F   f, H, m, n   P, f, n

Allowed substitution hints:   ph( x, h, m, n)   A( x, h)   P( x, h, m)   F( x, f, h, m)   H( x, h)

Proof of Theorem depindlem3

Dummy variables y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfn 6941	. . . . 5 |- ( f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) -> f Fn NN0 )
2	1	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> f Fn NN0 )
3		depind.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P : NN0 --> _V )
4		depind.0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
5		depind.h	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
6		depindlem1.4	. . . . . . . 8 |- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )
7	3, 4, 5, 6	depindlem1 16550	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )
9	8	simp1d 1036	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> F : NN0 --> _V )
10	9	ffnd 5511	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> F Fn NN0 )
11		fveq2 5672	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( f ` y ) = ( f ` 0 ) )
12		fveq2 5672	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( F ` y ) = ( F ` 0 ) )
13	11, 12	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( ( f ` y ) = ( F ` y ) <-> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) ) )
14	13	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
15		fveq2 5672	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( f ` y ) = ( f ` k ) )
16		fveq2 5672	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
17	15, 16	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( y = k -> ( ( f ` y ) = ( F ` y ) <-> ( f ` k ) = ( F ` k ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) ) ) )
19		fveq2 5672	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( f ` y ) = ( f ` ( k + 1 ) ) )
20		fveq2 5672	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
21	19, 20	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( ( f ` y ) = ( F ` y ) <-> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
22	21	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
23		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` 0 ) = A )
24	8	simp2d 1037	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( F ` 0 ) = A )
25	23, 24	eqtr4d 2270	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
26		fveq2 5672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` k ) = ( F ` k ) -> ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
27	26	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
28		simplrr 538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) -> A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) )
29		fvoveq1 6075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( f ` ( n + 1 ) ) = ( f ` ( k + 1 ) ) )
30		fveq2 5672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( H ` n ) = ( H ` k ) )
31		fveq2 5672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
32	30, 31	fveq12d 5679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) = ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) )
33	29, 32	eqeq12d 2249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) <-> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) ) )
34	33	rspccva 2922	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) )
35	28, 34	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) )
36	8	simp3d 1038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) -> A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) )
38		fvoveq1 6075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
39		fveq2 5672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
40	30, 39	fveq12d 5679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
41	38, 40	eqeq12d 2249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) ) )
42	41	rspccva 2922	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
43	37, 42	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
44	27, 35, 43	3eqtr4d 2277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
45	44	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( ( f ` k ) = ( F ` k ) -> ( k e. NN0 -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
46	45	com3r 79	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( ( f ` k ) = ( F ` k ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
47	46	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) ) -> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
48	14, 18, 22, 18, 25, 47	nn0ind 9698	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) ) )
49	48	impcom 125	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) )
50	2, 10, 49	eqfnfvd 5780	. . 3 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> f = F )
51	50	ex 115	. 2 |- ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) -> ( ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) -> f = F ) )
52	51	ralrimiva 2617	1 |- ( ph -> A. f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ( ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) -> f = F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   ifcif 3622   |-> cmpt 4173   Fn wfn 5349   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   e. cmpo 6054   X_cixp 6935   0cc0 8132   1c1 8133   + caddc 8135   - cmin 8449   NN0cn0 9501   seqcseq 10816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-ixp 6936  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-seqfrec 10817

This theorem is referenced by:  depind  16553