Theorem depindlem3 16761

Description: Lemma for depind 16762. (Contributed by Matthew House, 14-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
depind.p	|- ( ph -> P : NN0 --> _V )
depind.0	|- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
depind.h	|- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
depindlem1.4	|- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
depindlem3	|- ( ph -> A. f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ( ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) -> f = F ) )

Distinct variable groups:   f, h, n, x   ph, f   A, f, m, n   n, F   f, H, m, n   P, f, n

Allowed substitution hints:   ph( x, h, m, n)   A( x, h)   P( x, h, m)   F( x, f, h, m)   H( x, h)

Proof of Theorem depindlem3

Dummy variables y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfn 6986	. . . . 5 |- ( f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) -> f Fn NN0 )
2	1	ad2antlr 493	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> f Fn NN0 )
3		depind.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P : NN0 --> _V )
4		depind.0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
5		depind.h	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
6		depindlem1.4	. . . . . . . 8 |- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )
7	3, 4, 5, 6	depindlem1 16759	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )
8	7	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )
9	8	simp1d 1040	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> F : NN0 --> _V )
10	9	ffnd 5534	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> F Fn NN0 )
11		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( f ` y ) = ( f ` 0 ) )
12		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( F ` y ) = ( F ` 0 ) )
13	11, 12	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( ( f ` y ) = ( F ` y ) <-> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) ) )
14	13	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
15		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( f ` y ) = ( f ` k ) )
16		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
17	15, 16	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( y = k -> ( ( f ` y ) = ( F ` y ) <-> ( f ` k ) = ( F ` k ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) ) ) )
19		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( f ` y ) = ( f ` ( k + 1 ) ) )
20		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
21	19, 20	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( ( f ` y ) = ( F ` y ) <-> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
22	21	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
23		simprl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` 0 ) = A )
24	8	simp2d 1041	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( F ` 0 ) = A )
25	23, 24	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
26		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` k ) = ( F ` k ) -> ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
27	26	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
28		simplrr 542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) -> A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) )
29		fvoveq1 6108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( f ` ( n + 1 ) ) = ( f ` ( k + 1 ) ) )
30		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( H ` n ) = ( H ` k ) )
31		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
32	30, 31	fveq12d 5702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) = ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) )
33	29, 32	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) <-> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) ) )
34	33	rspccva 2928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) )
35	28, 34	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( f ` k ) ) )
36	8	simp3d 1042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) -> A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) )
38		fvoveq1 6108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
39		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
40	30, 39	fveq12d 5702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
41	38, 40	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) ) )
42	41	rspccva 2928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
43	37, 42	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
44	27, 35, 43	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ ( f ` k ) = ( F ` k ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
45	44	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( ( f ` k ) = ( F ` k ) -> ( k e. NN0 -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
46	45	com3r 79	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( ( f ` k ) = ( F ` k ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
47	46	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) ) -> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
48	14, 18, 22, 18, 25, 47	nn0ind 9762	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) ) )
49	48	impcom 125	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) )
50	2, 10, 49	eqfnfvd 5809	. . 3 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) ) -> f = F )
51	50	ex 115	. 2 |- ( ( ph /\ f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ) -> ( ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) -> f = F ) )
52	51	ralrimiva 2623	1 |- ( ph -> A. f e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) ( ( ( f ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( f ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( f ` n ) ) ) -> f = F ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   ifcif 3638   |-> cmpt 4192   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   X_cixp 6980   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   - cmin 8497   NN0cn0 9565   seqcseq 10886

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-ixp 6981  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-seqfrec 10887

This theorem is used by:  depind  16762