Theorem depindlem1 16386

Description: Lemma for depind 16389. (Contributed by Matthew House, 14-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
depind.p	|- ( ph -> P : NN0 --> _V )
depind.0	|- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
depind.h	|- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
depindlem1.4	|- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
depindlem1	|- ( ph -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )

Distinct variable groups:   h, n, x   A, m, n   n, F   m, H, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( x, h, m, n)   A( x, h)   P( x, h, m)   F( x, h, m)   H( x, h)

Proof of Theorem depindlem1

Dummy variables y z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9796	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 9496	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
3		nn0ex 9413	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
4	3	mptex 5885	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) e. _V
5		vex 2804	. . . . . 6 |- y e. _V
6	4, 5	fvex 5662	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` y ) e. _V
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` y ) e. _V )
8		eqid 2230	. . . . . 6 |- ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) = ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) )
9		vex 2804	. . . . . . 7 |- h e. _V
10		vex 2804	. . . . . . 7 |- x e. _V
11	9, 10	fvex 5662	. . . . . 6 |- ( h ` x ) e. _V
12		vex 2804	. . . . . 6 |- z e. _V
13	8, 11, 5, 12	mpofvexi 6376	. . . . 5 |- ( y ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) z ) e. _V
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. _V /\ z e. _V ) ) -> ( y ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) z ) e. _V )
15	1, 2, 7, 14	seqf 10732	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) : NN0 --> _V )
16		depindlem1.4	. . . 4 |- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )
17	16	feq1i 5477	. . 3 |- ( F : NN0 --> _V <-> seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) : NN0 --> _V )
18	15, 17	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> F : NN0 --> _V )
19	16	fveq1i 5643	. . . 4 |- ( F ` 0 ) = ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` 0 )
20	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` y ) e. _V )
21	2, 20, 14	seq3-1 10730	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` 0 ) )
22	19, 21	eqtrid 2275	. . 3 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` 0 ) )
23		0nn0 9422	. . . 4 |- 0 e. NN0
24		depind.0	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
25		iftrue 3611	. . . . 5 |- ( m = 0 -> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) = A )
26		eqid 2230	. . . . 5 |- ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) = ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) )
27	25, 26	fvmptg 5725	. . . 4 |- ( ( 0 e. NN0 /\ A e. ( P ` 0 ) ) -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` 0 ) = A )
28	23, 24, 27	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` 0 ) = A )
29	22, 28	eqtrd 2263	. 2 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = A )
30		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
31	30, 1	eleqtrdi 2323	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
32	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` y ) e. _V )
33	13	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( y e. _V /\ z e. _V ) ) -> ( y ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) z ) e. _V )
34	31, 32, 33	seq3p1 10733	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) ) )
35	16	fveq1i 5643	. . . . . . 7 |- ( F ` ( k + 1 ) ) = ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` ( k + 1 ) )
36	16	fveq1i 5643	. . . . . . . 8 |- ( F ` k ) = ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` k )
37	36	oveq1i 6033	. . . . . . 7 |- ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) )
38	34, 35, 37	3eqtr4g 2288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) ) )
39		eqeq1 2237	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( m = 0 <-> ( k + 1 ) = 0 ) )
40		fvoveq1 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( H ` ( m - 1 ) ) = ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
41	39, 40	ifbieq2d 3631	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k + 1 ) -> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) = if ( ( k + 1 ) = 0 , A , ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
42		nn0p1nn 9446	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN )
44	43	nnnn0d 9460	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
45	43	nnne0d 9193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) =/= 0 )
46	45	neneqd 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> -. ( k + 1 ) = 0 )
47	46	iffalsed 3616	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> if ( ( k + 1 ) = 0 , A , ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
48	30	nn0cnd 9462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
49		pncan1 8561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. CC -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
51	50	fveq2d 5646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( H ` k ) )
52	47, 51	eqtrd 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> if ( ( k + 1 ) = 0 , A , ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( H ` k ) )
53		depind.h	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
54		fveq2 5642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( H ` n ) = ( H ` k ) )
55		fveq2 5642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( P ` n ) = ( P ` k ) )
56		fvoveq1 6046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
57	54, 55, 56	feq123d 5475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
58	57	rspccva 2908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) )
59	53, 58	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) )
60		depind.p	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P : NN0 --> _V )
61	60	ffvelcdmda 5785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( P ` k ) e. _V )
62	59, 61	fexd 5889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) e. _V )
63	52, 62	eqeltrd 2307	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> if ( ( k + 1 ) = 0 , A , ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) e. _V )
64	26, 41, 44, 63	fvmptd3 5743	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) = 0 , A , ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
65	64, 52	eqtrd 2263	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( H ` k ) )
66	65	oveq2d 6039	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( H ` k ) ) )
67	38, 66	eqtrd 2263	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( H ` k ) ) )
68	18	ffvelcdmda 5785	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. _V )
69		fvexg 5661	. . . . . . 7 |- ( ( ( H ` k ) e. _V /\ ( F ` k ) e. _V ) -> ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) e. _V )
70	62, 68, 69	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) e. _V )
71		fveq2 5642	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` k ) -> ( z ` y ) = ( z ` ( F ` k ) ) )
72		fveq1 5641	. . . . . . 7 |- ( z = ( H ` k ) -> ( z ` ( F ` k ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
73		fveq2 5642	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( h ` x ) = ( h ` y ) )
74		fveq1 5641	. . . . . . . 8 |- ( h = z -> ( h ` y ) = ( z ` y ) )
75	73, 74	cbvmpov 6106	. . . . . . 7 |- ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) = ( y e. _V , z e. _V |-> ( z ` y ) )
76	71, 72, 75	ovmpog 6161	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` k ) e. _V /\ ( H ` k ) e. _V /\ ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) e. _V ) -> ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( H ` k ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
77	68, 62, 70, 76	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( H ` k ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
78	67, 77	eqtrd 2263	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
79	78	ralrimiva 2604	. . 3 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
80		fvoveq1 6046	. . . . 5 |- ( n = k -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
81		fveq2 5642	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
82	54, 81	fveq12d 5649	. . . . 5 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
83	80, 82	eqeq12d 2245	. . . 4 |- ( n = k -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) ) )
84	83	cbvralvw 2770	. . 3 |- ( A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) <-> A. k e. NN0 ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
85	79, 84	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) )
86	18, 29, 85	3jca 1203	1 |- ( ph -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2201   A.wral 2509   _Vcvv 2801   ifcif 3604   |-> cmpt 4151   -->wf 5324   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   e. cmpo 6025   CCcc 8035   0cc0 8037   1c1 8038   + caddc 8040   - cmin 8355   NNcn 9148   NN0cn0 9407   ZZ>=cuz 9760   seqcseq 10715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-seqfrec 10716

This theorem is referenced by:  depindlem2  16387  depindlem3  16388  depind  16389