Theorem depindlem1 16550

Description: Lemma for depind 16553. (Contributed by Matthew House, 14-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
depind.p	|- ( ph -> P : NN0 --> _V )
depind.0	|- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
depind.h	|- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
depindlem1.4	|- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
depindlem1	|- ( ph -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )

Distinct variable groups:   h, n, x   A, m, n   n, F   m, H, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( x, h, m, n)   A( x, h)   P( x, h, m)   F( x, h, m)   H( x, h)

Proof of Theorem depindlem1

Dummy variables y z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9895	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 9594	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
3		nn0ex 9507	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
4	3	mptex 5914	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) e. _V
5		vex 2818	. . . . . 6 |- y e. _V
6	4, 5	fvex 5692	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` y ) e. _V
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` y ) e. _V )
8		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) = ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) )
9		vex 2818	. . . . . . 7 |- h e. _V
10		vex 2818	. . . . . . 7 |- x e. _V
11	9, 10	fvex 5692	. . . . . 6 |- ( h ` x ) e. _V
12		vex 2818	. . . . . 6 |- z e. _V
13	8, 11, 5, 12	mpofvexi 6404	. . . . 5 |- ( y ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) z ) e. _V
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. _V /\ z e. _V ) ) -> ( y ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) z ) e. _V )
15	1, 2, 7, 14	seqf 10833	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) : NN0 --> _V )
16		depindlem1.4	. . . 4 |- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )
17	16	feq1i 5503	. . 3 |- ( F : NN0 --> _V <-> seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) : NN0 --> _V )
18	15, 17	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> F : NN0 --> _V )
19	16	fveq1i 5673	. . . 4 |- ( F ` 0 ) = ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` 0 )
20	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` y ) e. _V )
21	2, 20, 14	seq3-1 10831	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` 0 ) )
22	19, 21	eqtrid 2279	. . 3 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` 0 ) )
23		0nn0 9516	. . . 4 |- 0 e. NN0
24		depind.0	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
25		iftrue 3629	. . . . 5 |- ( m = 0 -> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) = A )
26		eqid 2234	. . . . 5 |- ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) = ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) )
27	25, 26	fvmptg 5755	. . . 4 |- ( ( 0 e. NN0 /\ A e. ( P ` 0 ) ) -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` 0 ) = A )
28	23, 24, 27	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` 0 ) = A )
29	22, 28	eqtrd 2267	. 2 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = A )
30		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
31	30, 1	eleqtrdi 2327	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
32	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` y ) e. _V )
33	13	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( y e. _V /\ z e. _V ) ) -> ( y ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) z ) e. _V )
34	31, 32, 33	seq3p1 10834	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) ) )
35	16	fveq1i 5673	. . . . . . 7 |- ( F ` ( k + 1 ) ) = ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` ( k + 1 ) )
36	16	fveq1i 5673	. . . . . . . 8 |- ( F ` k ) = ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` k )
37	36	oveq1i 6062	. . . . . . 7 |- ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ) ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) )
38	34, 35, 37	3eqtr4g 2292	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) ) )
39		eqeq1 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( m = 0 <-> ( k + 1 ) = 0 ) )
40		fvoveq1 6075	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( H ` ( m - 1 ) ) = ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
41	39, 40	ifbieq2d 3649	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k + 1 ) -> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) = if ( ( k + 1 ) = 0 , A , ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
42		nn0p1nn 9540	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN )
44	43	nnnn0d 9558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
45	43	nnne0d 9287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) =/= 0 )
46	45	neneqd 2435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> -. ( k + 1 ) = 0 )
47	46	iffalsed 3634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> if ( ( k + 1 ) = 0 , A , ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
48	30	nn0cnd 9560	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
49		pncan1 8655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. CC -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
51	50	fveq2d 5676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( H ` k ) )
52	47, 51	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> if ( ( k + 1 ) = 0 , A , ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( H ` k ) )
53		depind.h	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
54		fveq2 5672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( H ` n ) = ( H ` k ) )
55		fveq2 5672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( P ` n ) = ( P ` k ) )
56		fvoveq1 6075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
57	54, 55, 56	feq123d 5501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
58	57	rspccva 2922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) )
59	53, 58	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) )
60		depind.p	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P : NN0 --> _V )
61	60	ffvelcdmda 5814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( P ` k ) e. _V )
62	59, 61	fexd 5918	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) e. _V )
63	52, 62	eqeltrd 2311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> if ( ( k + 1 ) = 0 , A , ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) e. _V )
64	26, 41, 44, 63	fvmptd3 5773	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) = 0 , A , ( H ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
65	64, 52	eqtrd 2267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( H ` k ) )
66	65	oveq2d 6068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( H ` k ) ) )
67	38, 66	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( H ` k ) ) )
68	18	ffvelcdmda 5814	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. _V )
69		fvexg 5691	. . . . . . 7 |- ( ( ( H ` k ) e. _V /\ ( F ` k ) e. _V ) -> ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) e. _V )
70	62, 68, 69	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) e. _V )
71		fveq2 5672	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` k ) -> ( z ` y ) = ( z ` ( F ` k ) ) )
72		fveq1 5671	. . . . . . 7 |- ( z = ( H ` k ) -> ( z ` ( F ` k ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
73		fveq2 5672	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( h ` x ) = ( h ` y ) )
74		fveq1 5671	. . . . . . . 8 |- ( h = z -> ( h ` y ) = ( z ` y ) )
75	73, 74	cbvmpov 6135	. . . . . . 7 |- ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) = ( y e. _V , z e. _V |-> ( z ` y ) )
76	71, 72, 75	ovmpog 6190	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` k ) e. _V /\ ( H ` k ) e. _V /\ ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) e. _V ) -> ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( H ` k ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
77	68, 62, 70, 76	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( F ` k ) ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) ( H ` k ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
78	67, 77	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
79	78	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
80		fvoveq1 6075	. . . . 5 |- ( n = k -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
81		fveq2 5672	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
82	54, 81	fveq12d 5679	. . . . 5 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
83	80, 82	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( n = k -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) ) )
84	83	cbvralvw 2784	. . 3 |- ( A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) <-> A. k e. NN0 ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
85	79, 84	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) )
86	18, 29, 85	3jca 1204	1 |- ( ph -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   ifcif 3622   |-> cmpt 4173   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   e. cmpo 6054   CCcc 8130   0cc0 8132   1c1 8133   + caddc 8135   - cmin 8449   NNcn 9242   NN0cn0 9501   ZZ>=cuz 9859   seqcseq 10816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-seqfrec 10817

This theorem is referenced by:  depindlem2  16551  depindlem3  16552  depind  16553