Theorem depindlem2 16347

Description: Lemma for depind 16349. (Contributed by Matthew House, 14-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
depind.p	|- ( ph -> P : NN0 --> _V )
depind.0	|- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
depind.h	|- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
depindlem1.4	|- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
depindlem2	|- ( ph -> F e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) )

Distinct variable groups:   h, n, x   A, m, n   n, F   m, H, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( x, h, m, n)   A( x, h)   P( x, h, m)   F( x, h, m)   H( x, h)

Proof of Theorem depindlem2

Dummy variables y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		depind.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P : NN0 --> _V )
2		depind.0	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
3		depind.h	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
4		depindlem1.4	. . . . . 6 |- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	depindlem1 16346	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )
6	5	simp1d 1035	. . . 4 |- ( ph -> F : NN0 --> _V )
7		nn0ex 9408	. . . . 5 |- NN0 e. _V
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> NN0 e. _V )
9	6, 8	fexd 5884	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
10	6	ffnd 5483	. . 3 |- ( ph -> F Fn NN0 )
11		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( F ` y ) = ( F ` 0 ) )
12		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( P ` y ) = ( P ` 0 ) )
13	11, 12	eleq12d 2302	. . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( ( F ` y ) e. ( P ` y ) <-> ( F ` 0 ) e. ( P ` 0 ) ) )
14	13	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> ( ( ph -> ( F ` y ) e. ( P ` y ) ) <-> ( ph -> ( F ` 0 ) e. ( P ` 0 ) ) ) )
15		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
16		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( P ` y ) = ( P ` k ) )
17	15, 16	eleq12d 2302	. . . . . . 7 |- ( y = k -> ( ( F ` y ) e. ( P ` y ) <-> ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( ( ph -> ( F ` y ) e. ( P ` y ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) ) )
19		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
20		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( P ` y ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
21	19, 20	eleq12d 2302	. . . . . . 7 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( ( F ` y ) e. ( P ` y ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
22	21	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` y ) e. ( P ` y ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
23	5	simp2d 1036	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = A )
24	23, 2	eqeltrd 2308	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. ( P ` 0 ) )
25	5	simp3d 1037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) )
26		fvoveq1 6041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
27		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( H ` n ) = ( H ` k ) )
28		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
29	27, 28	fveq12d 5646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
30	26, 29	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) ) )
31	30	rspccva 2909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
32	25, 31	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
34		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( P ` n ) = ( P ` k ) )
35		fvoveq1 6041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
36	27, 34, 35	feq123d 5473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
37	36	rspccva 2909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) )
38	3, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) )
39	38	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) -> ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) )
40	33, 39	eqeltrd 2308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) )
41	40	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. NN0 -> ( ( F ` k ) e. ( P ` k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
42	41	com12 30	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> ( ( F ` k ) e. ( P ` k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
43	42	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ph -> ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
44	14, 18, 22, 18, 24, 43	nn0ind 9594	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) )
45	44	impcom 125	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. ( P ` k ) )
46	45	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( F ` k ) e. ( P ` k ) )
47		elixp2 6871	. . 3 |- ( F e. X_ k e. NN0 ( P ` k ) <-> ( F e. _V /\ F Fn NN0 /\ A. k e. NN0 ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) )
48	9, 10, 46, 47	syl3anbrc 1207	. 2 |- ( ph -> F e. X_ k e. NN0 ( P ` k ) )
49	34	cbvixpv 6885	. 2 |- X_ n e. NN0 ( P ` n ) = X_ k e. NN0 ( P ` k )
50	48, 49	eleqtrrdi 2325	1 |- ( ph -> F e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   ifcif 3605   |-> cmpt 4150   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   e. cmpo 6020   X_cixp 6867   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   - cmin 8350   NN0cn0 9402   seqcseq 10710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-ixp 6868  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-seqfrec 10711

This theorem is referenced by:  depind  16349