Theorem depindlem2 16387

Description: Lemma for depind 16389. (Contributed by Matthew House, 14-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
depind.p	|- ( ph -> P : NN0 --> _V )
depind.0	|- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
depind.h	|- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
depindlem1.4	|- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
depindlem2	|- ( ph -> F e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) )

Distinct variable groups:   h, n, x   A, m, n   n, F   m, H, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( x, h, m, n)   A( x, h)   P( x, h, m)   F( x, h, m)   H( x, h)

Proof of Theorem depindlem2

Dummy variables y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		depind.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P : NN0 --> _V )
2		depind.0	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
3		depind.h	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
4		depindlem1.4	. . . . . 6 |- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	depindlem1 16386	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )
6	5	simp1d 1035	. . . 4 |- ( ph -> F : NN0 --> _V )
7		nn0ex 9413	. . . . 5 |- NN0 e. _V
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> NN0 e. _V )
9	6, 8	fexd 5889	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
10	6	ffnd 5485	. . 3 |- ( ph -> F Fn NN0 )
11		fveq2 5642	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( F ` y ) = ( F ` 0 ) )
12		fveq2 5642	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( P ` y ) = ( P ` 0 ) )
13	11, 12	eleq12d 2301	. . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( ( F ` y ) e. ( P ` y ) <-> ( F ` 0 ) e. ( P ` 0 ) ) )
14	13	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> ( ( ph -> ( F ` y ) e. ( P ` y ) ) <-> ( ph -> ( F ` 0 ) e. ( P ` 0 ) ) ) )
15		fveq2 5642	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
16		fveq2 5642	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( P ` y ) = ( P ` k ) )
17	15, 16	eleq12d 2301	. . . . . . 7 |- ( y = k -> ( ( F ` y ) e. ( P ` y ) <-> ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( ( ph -> ( F ` y ) e. ( P ` y ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) ) )
19		fveq2 5642	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
20		fveq2 5642	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( P ` y ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
21	19, 20	eleq12d 2301	. . . . . . 7 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( ( F ` y ) e. ( P ` y ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
22	21	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` y ) e. ( P ` y ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
23	5	simp2d 1036	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = A )
24	23, 2	eqeltrd 2307	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. ( P ` 0 ) )
25	5	simp3d 1037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) )
26		fvoveq1 6046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
27		fveq2 5642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( H ` n ) = ( H ` k ) )
28		fveq2 5642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
29	27, 28	fveq12d 5649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
30	26, 29	eqeq12d 2245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) ) )
31	30	rspccva 2908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
32	25, 31	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
34		fveq2 5642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( P ` n ) = ( P ` k ) )
35		fvoveq1 6046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
36	27, 34, 35	feq123d 5475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
37	36	rspccva 2908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) )
38	3, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) )
39	38	ffvelcdmda 5785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) -> ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) )
40	33, 39	eqeltrd 2307	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) )
41	40	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. NN0 -> ( ( F ` k ) e. ( P ` k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
42	41	com12 30	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> ( ( F ` k ) e. ( P ` k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
43	42	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ph -> ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
44	14, 18, 22, 18, 24, 43	nn0ind 9599	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) )
45	44	impcom 125	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. ( P ` k ) )
46	45	ralrimiva 2604	. . 3 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( F ` k ) e. ( P ` k ) )
47		elixp2 6876	. . 3 |- ( F e. X_ k e. NN0 ( P ` k ) <-> ( F e. _V /\ F Fn NN0 /\ A. k e. NN0 ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) )
48	9, 10, 46, 47	syl3anbrc 1207	. 2 |- ( ph -> F e. X_ k e. NN0 ( P ` k ) )
49	34	cbvixpv 6890	. 2 |- X_ n e. NN0 ( P ` n ) = X_ k e. NN0 ( P ` k )
50	48, 49	eleqtrrdi 2324	1 |- ( ph -> F e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   A.wral 2509   _Vcvv 2801   ifcif 3604   |-> cmpt 4151   Fn wfn 5323   -->wf 5324   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   e. cmpo 6025   X_cixp 6872   0cc0 8037   1c1 8038   + caddc 8040   - cmin 8355   NN0cn0 9407   seqcseq 10715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-ixp 6873  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-seqfrec 10716

This theorem is referenced by:  depind  16389