Theorem depindlem2 16631

Description: Lemma for depind 16633. (Contributed by Matthew House, 14-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
depind.p	|- ( ph -> P : NN0 --> _V )
depind.0	|- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
depind.h	|- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
depindlem1.4	|- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
depindlem2	|- ( ph -> F e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) )

Distinct variable groups:   h, n, x   A, m, n   n, F   m, H, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( x, h, m, n)   A( x, h)   P( x, h, m)   F( x, h, m)   H( x, h)

Proof of Theorem depindlem2

Dummy variables y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		depind.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P : NN0 --> _V )
2		depind.0	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( P ` 0 ) )
3		depind.h	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) )
4		depindlem1.4	. . . . . 6 |- F = seq 0 ( ( x e. _V , h e. _V |-> ( h ` x ) ) , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , A , ( H ` ( m - 1 ) ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	depindlem1 16630	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : NN0 --> _V /\ ( F ` 0 ) = A /\ A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) ) )
6	5	simp1d 1036	. . . 4 |- ( ph -> F : NN0 --> _V )
7		nn0ex 9522	. . . . 5 |- NN0 e. _V
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> NN0 e. _V )
9	6, 8	fexd 5921	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
10	6	ffnd 5514	. . 3 |- ( ph -> F Fn NN0 )
11		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( F ` y ) = ( F ` 0 ) )
12		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( P ` y ) = ( P ` 0 ) )
13	11, 12	eleq12d 2305	. . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( ( F ` y ) e. ( P ` y ) <-> ( F ` 0 ) e. ( P ` 0 ) ) )
14	13	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> ( ( ph -> ( F ` y ) e. ( P ` y ) ) <-> ( ph -> ( F ` 0 ) e. ( P ` 0 ) ) ) )
15		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
16		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( P ` y ) = ( P ` k ) )
17	15, 16	eleq12d 2305	. . . . . . 7 |- ( y = k -> ( ( F ` y ) e. ( P ` y ) <-> ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( ( ph -> ( F ` y ) e. ( P ` y ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) ) )
19		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
20		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( P ` y ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
21	19, 20	eleq12d 2305	. . . . . . 7 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( ( F ` y ) e. ( P ` y ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
22	21	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` y ) e. ( P ` y ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
23	5	simp2d 1037	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = A )
24	23, 2	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. ( P ` 0 ) )
25	5	simp3d 1038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) )
26		fvoveq1 6081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
27		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( H ` n ) = ( H ` k ) )
28		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
29	27, 28	fveq12d 5682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
30	26, 29	eqeq12d 2249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) ) )
31	30	rspccva 2922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. NN0 ( F ` ( n + 1 ) ) = ( ( H ` n ) ` ( F ` n ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
32	25, 31	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) )
34		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( P ` n ) = ( P ` k ) )
35		fvoveq1 6081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
36	27, 34, 35	feq123d 5504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
37	36	rspccva 2922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. NN0 ( H ` n ) : ( P ` n ) --> ( P ` ( n + 1 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) )
38	3, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) : ( P ` k ) --> ( P ` ( k + 1 ) ) )
39	38	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) -> ( ( H ` k ) ` ( F ` k ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) )
40	33, 39	eqeltrd 2311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) )
41	40	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. NN0 -> ( ( F ` k ) e. ( P ` k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
42	41	com12 30	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> ( ( F ` k ) e. ( P ` k ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
43	42	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ph -> ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
44	14, 18, 22, 18, 24, 43	nn0ind 9713	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) )
45	44	impcom 125	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. ( P ` k ) )
46	45	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( F ` k ) e. ( P ` k ) )
47		elixp2 6950	. . 3 |- ( F e. X_ k e. NN0 ( P ` k ) <-> ( F e. _V /\ F Fn NN0 /\ A. k e. NN0 ( F ` k ) e. ( P ` k ) ) )
48	9, 10, 46, 47	syl3anbrc 1208	. 2 |- ( ph -> F e. X_ k e. NN0 ( P ` k ) )
49	34	cbvixpv 6964	. 2 |- X_ n e. NN0 ( P ` n ) = X_ k e. NN0 ( P ` k )
50	48, 49	eleqtrrdi 2328	1 |- ( ph -> F e. X_ n e. NN0 ( P ` n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   ifcif 3624   |-> cmpt 4176   Fn wfn 5352   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060   X_cixp 6946   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   - cmin 8461   NN0cn0 9516   seqcseq 10836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-ixp 6947  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-seqfrec 10837

This theorem is referenced by:  depind  16633