Theorem nn0ind 9340

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0ind.1	|- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
nn0ind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
nn0ind.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
nn0ind.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
nn0ind.5	|- ps
nn0ind.6	|- ( y e. NN0 -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
nn0ind	|- ( A e. NN0 -> ta )

Distinct variable groups:   x, y   x, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem nn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 9239	. 2 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) )
2		0z 9237	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		nn0ind.1	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
4		nn0ind.2	. . . 4 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
5		nn0ind.3	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
6		nn0ind.4	. . . 4 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
7		nn0ind.5	. . . . 5 |- ps
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> ps )
9		elnn0z 9239	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) )
10		nn0ind.6	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ch -> th ) )
11	9, 10	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) -> ( ch -> th ) )
12	11	3adant1 1015	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ y e. ZZ /\ 0 <_ y ) -> ( ch -> th ) )
13	3, 4, 5, 6, 8, 12	uzind 9337	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ta )
14	2, 13	mp3an1 1324	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ta )
15	1, 14	sylbi 121	1 |- ( A e. NN0 -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   <_ cle 7967   NN0cn0 9149   ZZcz 9226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227

This theorem is referenced by:  zindd  9344  uzaddcl  9559  frecfzennn  10396  mulexp  10529  expadd  10532  expmul  10535  leexp1a  10545  bernneq  10610  modqexp  10616  nn0ltexp2  10658  faccl  10683  facdiv  10686  facwordi  10688  faclbnd  10689  faclbnd6  10692  facubnd  10693  bccl  10715  cjexp  10870  absexp  11056  binom  11460  bcxmas  11465  fprodfac  11591  demoivreALT  11749  odd2np1lem  11844  alginv  12014  prmfac1  12119  pcfac  12315  ennnfonelemhf1o  12381  mhmmulg  12884  srgmulgass  12969  srgpcomp  12970  expcncf  13663