ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elovmpowrd GIF version

Theorem elovmpowrd 10955
Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a class abstraction of words as a result having an element. Note that 𝜑 may depend on 𝑧 as well as on 𝑣 and 𝑦. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
elovmpowrd.o 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣𝜑})
Assertion
Ref Expression
elovmpowrd (𝑍 ∈ (𝑉𝑂𝑌) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑉,𝑦,𝑧   𝑣,𝑌,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣)   𝑂(𝑦,𝑧,𝑣)   𝑍(𝑦,𝑣)

Proof of Theorem elovmpowrd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elovmpowrd.o . . . 4 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣𝜑})
2 csbwrdg 10943 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ V → 𝑣 / 𝑥Word 𝑥 = Word 𝑣)
32eqcomd 2199 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ V → Word 𝑣 = 𝑣 / 𝑥Word 𝑥)
43adantr 276 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → Word 𝑣 = 𝑣 / 𝑥Word 𝑥)
54rabeqdv 2754 . . . . 5 ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → {𝑧 ∈ Word 𝑣𝜑} = {𝑧𝑣 / 𝑥Word 𝑥𝜑})
65mpoeq3ia 5983 . . . 4 (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣𝜑}) = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧𝑣 / 𝑥Word 𝑥𝜑})
71, 6eqtri 2214 . . 3 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧𝑣 / 𝑥Word 𝑥𝜑})
8 csbwrdg 10943 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → 𝑉 / 𝑥Word 𝑥 = Word 𝑉)
9 wrdexg 10925 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → Word 𝑉 ∈ V)
108, 9eqeltrd 2270 . . . 4 (𝑉 ∈ V → 𝑉 / 𝑥Word 𝑥 ∈ V)
1110adantr 276 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → 𝑉 / 𝑥Word 𝑥 ∈ V)
127, 11elovmporab1w 6119 . 2 (𝑍 ∈ (𝑉𝑂𝑌) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍𝑉 / 𝑥Word 𝑥))
138eleq2d 2263 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → (𝑍𝑉 / 𝑥Word 𝑥𝑍 ∈ Word 𝑉))
1413adantr 276 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑍𝑉 / 𝑥Word 𝑥𝑍 ∈ Word 𝑉))
15 id 19 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))
16153expia 1207 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑍 ∈ Word 𝑉 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉)))
1714, 16sylbid 150 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑍𝑉 / 𝑥Word 𝑥 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉)))
18173impia 1202 . 2 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍𝑉 / 𝑥Word 𝑥) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))
1912, 18syl 14 1 (𝑍 ∈ (𝑉𝑂𝑌) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2164  {crab 2476  Vcvv 2760  csb 3080  (class class class)co 5918  cmpo 5920  Word cword 10914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-map 6704  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-word 10915
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator