Theorem elovmpowrd 11348

Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a class abstraction of words as a result having an element. Note that 𝜑 may depend on 𝑧 as well as on 𝑣 and 𝑦. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
elovmpowrd.o	⊢ 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣 ∣ 𝜑})

Assertion

Ref	Expression
elovmpowrd	⊢ (𝑍 ∈ (𝑉𝑂𝑌) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑉,𝑦,𝑧   𝑣,𝑌,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑧, 𝑣)   𝑂(𝑦, 𝑧, 𝑣)   𝑍(𝑦, 𝑣)

Proof of Theorem elovmpowrd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpowrd.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣 ∣ 𝜑})
2		csbwrdg 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ V → ⦋𝑣 / 𝑥⦌Word 𝑥 = Word 𝑣)
3	2	eqcomd 2244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ V → Word 𝑣 = ⦋𝑣 / 𝑥⦌Word 𝑥)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → Word 𝑣 = ⦋𝑣 / 𝑥⦌Word 𝑥)
5	4	rabeqdv 2815	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → {𝑧 ∈ Word 𝑣 ∣ 𝜑} = {𝑧 ∈ ⦋𝑣 / 𝑥⦌Word 𝑥 ∣ 𝜑})
6	5	mpoeq3ia 6153	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣 ∣ 𝜑}) = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ ⦋𝑣 / 𝑥⦌Word 𝑥 ∣ 𝜑})
7	1, 6	eqtri 2259	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ ⦋𝑣 / 𝑥⦌Word 𝑥 ∣ 𝜑})
8		csbwrdg 11336	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥 = Word 𝑉)
9		wrdexg 11317	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → Word 𝑉 ∈ V)
10	8, 9	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥 ∈ V)
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥 ∈ V)
12	7, 11	elovmporab1w 6290	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑉𝑂𝑌) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥))
13	8	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑍 ∈ ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥 ↔ 𝑍 ∈ Word 𝑉))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑍 ∈ ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥 ↔ 𝑍 ∈ Word 𝑉))
15		id 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))
16	15	3expia 1236	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑍 ∈ Word 𝑉 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉)))
17	14, 16	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑍 ∈ ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉)))
18	17	3impia 1231	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))
19	12, 18	syl 14	1 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑉𝑂𝑌) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  ⦋csb 3147  (class class class)co 6085   ∈ cmpo 6087  Word cword 11306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-word 11307

This theorem is used by: (None)