Theorem elovmpowrd 10945

Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a class abstraction of words as a result having an element. Note that 𝜑 may depend on 𝑧 as well as on 𝑣 and 𝑦. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
elovmpowrd.o	⊢ 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣 ∣ 𝜑})

Assertion

Ref	Expression
elovmpowrd	⊢ (𝑍 ∈ (𝑉𝑂𝑌) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑉,𝑦,𝑧   𝑣,𝑌,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣)   𝑂(𝑦,𝑧,𝑣)   𝑍(𝑦,𝑣)

Proof of Theorem elovmpowrd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpowrd.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣 ∣ 𝜑})
2		csbwrdg 10933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ V → ⦋𝑣 / 𝑥⦌Word 𝑥 = Word 𝑣)
3	2	eqcomd 2199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ V → Word 𝑣 = ⦋𝑣 / 𝑥⦌Word 𝑥)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → Word 𝑣 = ⦋𝑣 / 𝑥⦌Word 𝑥)
5	4	rabeqdv 2754	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → {𝑧 ∈ Word 𝑣 ∣ 𝜑} = {𝑧 ∈ ⦋𝑣 / 𝑥⦌Word 𝑥 ∣ 𝜑})
6	5	mpoeq3ia 5975	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣 ∣ 𝜑}) = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ ⦋𝑣 / 𝑥⦌Word 𝑥 ∣ 𝜑})
7	1, 6	eqtri 2214	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑧 ∈ ⦋𝑣 / 𝑥⦌Word 𝑥 ∣ 𝜑})
8		csbwrdg 10933	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥 = Word 𝑉)
9		wrdexg 10915	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → Word 𝑉 ∈ V)
10	8, 9	eqeltrd 2270	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥 ∈ V)
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥 ∈ V)
12	7, 11	elovmporab1w 6111	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑉𝑂𝑌) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥))
13	8	eleq2d 2263	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑍 ∈ ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥 ↔ 𝑍 ∈ Word 𝑉))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑍 ∈ ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥 ↔ 𝑍 ∈ Word 𝑉))
15		id 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))
16	15	3expia 1207	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑍 ∈ Word 𝑉 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉)))
17	14, 16	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑍 ∈ ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉)))
18	17	3impia 1202	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ ⦋𝑉 / 𝑥⦌Word 𝑥) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))
19	12, 18	syl 14	1 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑉𝑂𝑌) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476  Vcvv 2760  ⦋csb 3080  (class class class)co 5910   ∈ cmpo 5912  Word cword 10904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-er 6578  df-map 6695  df-en 6786  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-word 10905

This theorem is referenced by: (None)