Theorem eqwrd 11098

Description: Two words are equal iff they have the same length and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 13-Apr-2018.) (Revised by JJ, 30-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eqwrd	|- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( U = W <-> ( (♯ ` U ) = (♯ ` W ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` U ) ) ( U ` i ) = ( W ` i ) ) ) )

Distinct variable groups:   U, i   i, W

Allowed substitution hints:   S( i)   T( i)

Proof of Theorem eqwrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 11073	. . 3 |- ( U e. Word S -> U Fn ( 0..^ (♯ ` U ) ) )
2		wrdfn 11073	. . 3 |- ( W e. Word T -> W Fn ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
3		eqfnfv2 5726	. . 3 |- ( ( U Fn ( 0..^ (♯ ` U ) ) /\ W Fn ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( U = W <-> ( ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` U ) ) ( U ` i ) = ( W ` i ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( U = W <-> ( ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` U ) ) ( U ` i ) = ( W ` i ) ) ) )
5		fveq2 5623	. . . . 5 |- ( ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> (♯ ` ( 0..^ (♯ ` U ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
6		lencl 11062	. . . . . . 7 |- ( U e. Word S -> (♯ ` U ) e. NN0 )
7		hashfzo0 11032	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` U ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ (♯ ` U ) ) ) = (♯ ` U ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( U e. Word S -> (♯ ` ( 0..^ (♯ ` U ) ) ) = (♯ ` U ) )
9		lencl 11062	. . . . . . 7 |- ( W e. Word T -> (♯ ` W ) e. NN0 )
10		hashfzo0 11032	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) = (♯ ` W ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( W e. Word T -> (♯ ` ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) = (♯ ` W ) )
12	8, 11	eqeqan12d 2245	. . . . 5 |- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( (♯ ` ( 0..^ (♯ ` U ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) <-> (♯ ` U ) = (♯ ` W ) ) )
13	5, 12	imbitrid 154	. . . 4 |- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> (♯ ` U ) = (♯ ` W ) ) )
14		oveq2 6002	. . . 4 |- ( (♯ ` U ) = (♯ ` W ) -> ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
15	13, 14	impbid1 142	. . 3 |- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> (♯ ` U ) = (♯ ` W ) ) )
16	15	anbi1d 465	. 2 |- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( ( ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` U ) ) ( U ` i ) = ( W ` i ) ) <-> ( (♯ ` U ) = (♯ ` W ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` U ) ) ( U ` i ) = ( W ` i ) ) ) )
17	4, 16	bitrd 188	1 |- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( U = W <-> ( (♯ ` U ) = (♯ ` W ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` U ) ) ( U ` i ) = ( W ` i ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   Fn wfn 5309   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   0cc0 7987   NN0cn0 9357  ..^cfzo 10326  ♯chash 10984  Word cword 11058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-ihash 10985  df-word 11059

This theorem is referenced by:  eqs1  11147  swrdspsleq  11185  pfxeq  11214  pfxsuffeqwrdeq  11216