Theorem eqwrd 11290

Description: Two words are equal iff they have the same length and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 13-Apr-2018.) (Revised by JJ, 30-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eqwrd	|- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( U = W <-> ( (♯ ` U ) = (♯ ` W ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` U ) ) ( U ` i ) = ( W ` i ) ) ) )

Distinct variable groups:   U, i   i, W

Allowed substitution hints:   S( i)   T( i)

Proof of Theorem eqwrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 11264	. . 3 |- ( U e. Word S -> U Fn ( 0..^ (♯ ` U ) ) )
2		wrdfn 11264	. . 3 |- ( W e. Word T -> W Fn ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
3		eqfnfv2 5781	. . 3 |- ( ( U Fn ( 0..^ (♯ ` U ) ) /\ W Fn ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( U = W <-> ( ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` U ) ) ( U ` i ) = ( W ` i ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( U = W <-> ( ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` U ) ) ( U ` i ) = ( W ` i ) ) ) )
5		fveq2 5675	. . . . 5 |- ( ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> (♯ ` ( 0..^ (♯ ` U ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
6		lencl 11253	. . . . . . 7 |- ( U e. Word S -> (♯ ` U ) e. NN0 )
7		hashfzo0 11213	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` U ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ (♯ ` U ) ) ) = (♯ ` U ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( U e. Word S -> (♯ ` ( 0..^ (♯ ` U ) ) ) = (♯ ` U ) )
9		lencl 11253	. . . . . . 7 |- ( W e. Word T -> (♯ ` W ) e. NN0 )
10		hashfzo0 11213	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) = (♯ ` W ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( W e. Word T -> (♯ ` ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) = (♯ ` W ) )
12	8, 11	eqeqan12d 2250	. . . . 5 |- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( (♯ ` ( 0..^ (♯ ` U ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) <-> (♯ ` U ) = (♯ ` W ) ) )
13	5, 12	imbitrid 154	. . . 4 |- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> (♯ ` U ) = (♯ ` W ) ) )
14		oveq2 6066	. . . 4 |- ( (♯ ` U ) = (♯ ` W ) -> ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
15	13, 14	impbid1 142	. . 3 |- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> (♯ ` U ) = (♯ ` W ) ) )
16	15	anbi1d 465	. 2 |- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( ( ( 0..^ (♯ ` U ) ) = ( 0..^ (♯ ` W ) ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` U ) ) ( U ` i ) = ( W ` i ) ) <-> ( (♯ ` U ) = (♯ ` W ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` U ) ) ( U ` i ) = ( W ` i ) ) ) )
17	4, 16	bitrd 188	1 |- ( ( U e. Word S /\ W e. Word T ) -> ( U = W <-> ( (♯ ` U ) = (♯ ` W ) /\ A. i e. ( 0..^ (♯ ` U ) ) ( U ` i ) = ( W ` i ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   Fn wfn 5352   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   NN0cn0 9513  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250

This theorem is referenced by:  eqs1  11341  swrdspsleq  11384  pfxeq  11413  pfxsuffeqwrdeq  11415  wlkeq  16461