Theorem eupth2lem3lem5 16696

Description: Lemma for eupth2fi 16703. (Contributed by AV, 25-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	|- V = (Vtx ` G )
trlsegvdeg.i	|- I = (iEdg ` G )
trlsegvdeg.f	|- ( ph -> Fun I )
trlsegvdeg.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
trlsegvdeg.u	|- ( ph -> U e. V )
trlsegvdeg.w	|- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
trlsegvdeg.vx	|- ( ph -> (Vtx ` X ) = V )
trlsegvdeg.vy	|- ( ph -> (Vtx ` Y ) = V )
trlsegvdeg.vz	|- ( ph -> (Vtx ` Z ) = V )
trlsegvdeg.ix	|- ( ph -> (iEdg ` X ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
trlsegvdeg.iy	|- ( ph -> (iEdg ` Y ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
trlsegvdeg.iz	|- ( ph -> (iEdg ` Z ) = ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) )
eupth2lem3lem5.o	|- ( ph -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` X ) ` x ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` N ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` N ) } ) )
eupth2lem3.e	|- ( ph -> ( I ` ( F ` N ) ) = { ( P ` N ) , ( P ` ( N + 1 ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem5	|- ( ph -> ( I ` ( F ` N ) ) e. ~P V )

Proof of Theorem eupth2lem3lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth2lem3.e	. 2 |- ( ph -> ( I ` ( F ` N ) ) = { ( P ` N ) , ( P ` ( N + 1 ) ) } )
2		trlsegvdeg.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
3		trlsegvdeg.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
4		trlsegvdeg.f	. . . 4 |- ( ph -> Fun I )
5		trlsegvdeg.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
6		trlsegvdeg.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
7		trlsegvdeg.w	. . . 4 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	trlsegvdeglem1 16684	. . 3 |- ( ph -> ( ( P ` N ) e. V /\ ( P ` ( N + 1 ) ) e. V ) )
9		prelpwi 4352	. . 3 |- ( ( ( P ` N ) e. V /\ ( P ` ( N + 1 ) ) e. V ) -> { ( P ` N ) , ( P ` ( N + 1 ) ) } e. ~P V )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ph -> { ( P ` N ) , ( P ` ( N + 1 ) ) } e. ~P V )
11	1, 10	eqeltrd 2315	1 |- ( ph -> ( I ` ( F ` N ) ) e. ~P V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   (/)c0 3520   ifcif 3638   ~Pcpw 3688   {csn 3708   {cpr 3709   <.cop 3711   class class class wbr 4128   |` cres 4774   "cima 4775   Fun wfun 5369   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   2c2 9338   ...cfz 10394  ..^cfzo 10532  ♯chash 11197   || cdvds 12537  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  VtxDegcvtxdg 16510  Trailsctrls 16604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198  df-word 11288  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-wlks 16542  df-trls 16605

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem7fi  16698