Theorem fiubm 10756

Description: Lemma for fiubz 10757 and fiubnn 10758. A general form of those theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiubm.a	|- ( ph -> A C_ B )
fiubm.b	|- ( ph -> B C_ QQ )
fiubm.c	|- ( ph -> C e. B )
fiubm.f	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fiubm	|- ( ph -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B   x, C, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem fiubm

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiubm.c	. . 3 |- ( ph -> C e. B )
2		rzal 3511	. . 3 |- ( A = (/) -> A. y e. A y <_ C )
3		brralrspcev 4045	. . 3 |- ( ( C e. B /\ A. y e. A y <_ C ) -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )
5		fiubm.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ B )
6	5	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A C_ B )
7		fiubm.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ QQ )
8	5, 7	sstrd 3157	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ QQ )
9	8	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A C_ QQ )
10		fiubm.f	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
11	10	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A e. Fin )
12		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) )
13		fimaxq 10755	. . . 4 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
15		ssrexv 3212	. . 3 |- ( A C_ B -> ( E. x e. A A. y e. A y <_ x -> E. x e. B A. y e. A y <_ x ) )
16	6, 14, 15	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )
17		fin0or 6862	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ E. z z e. A ) )
18		n0r 3427	. . . 4 |- ( E. z z e. A -> A =/= (/) )
19	18	orim2i 756	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ E. z z e. A ) -> ( A = (/) \/ A =/= (/) ) )
20	10, 17, 19	3syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ A =/= (/) ) )
21	4, 16, 20	mpjaodan 793	1 |- ( ph -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   (/)c0 3414   class class class wbr 3987   Fincfn 6716   <_ cle 7948   QQcq 9571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-er 6511  df-en 6717  df-fin 6719  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-q 9572  df-rp 9604

This theorem is referenced by:  fiubz  10757  fiubnn  10758