ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fiubm Unicode version

Theorem fiubm 10756
Description: Lemma for fiubz 10757 and fiubnn 10758. A general form of those theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fiubm.a  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
fiubm.b  |-  ( ph  ->  B  C_  QQ )
fiubm.c  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
fiubm.f  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
fiubm  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  A  y  <_  x )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, B    x, C, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( y)

Proof of Theorem fiubm
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fiubm.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
2 rzal 3511 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. y  e.  A  y  <_  C )
3 brralrspcev 4045 . . 3  |-  ( ( C  e.  B  /\  A. y  e.  A  y  <_  C )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  A  y  <_  x )
41, 2, 3syl2an 287 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  A  y  <_  x )
5 fiubm.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
65adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  C_  B
)
7 fiubm.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  QQ )
85, 7sstrd 3157 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  QQ )
98adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  C_  QQ )
10 fiubm.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
1110adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  e.  Fin )
12 simpr 109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
13 fimaxq 10755 . . . 4  |-  ( ( A  C_  QQ  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
149, 11, 12, 13syl3anc 1233 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
15 ssrexv 3212 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
166, 14, 15sylc 62 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  A  y  <_  x )
17 fin0or 6862 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  E. z  z  e.  A
) )
18 n0r 3427 . . . 4  |-  ( E. z  z  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
1918orim2i 756 . . 3  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. z  z  e.  A
)  ->  ( A  =  (/)  \/  A  =/=  (/) ) )
2010, 17, 193syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  A  =/=  (/) ) )
214, 16, 20mpjaodan 793 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  A  y  <_  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141    =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449    C_ wss 3121   (/)c0 3414   class class class wbr 3987   Fincfn 6716    <_ cle 7948   QQcq 9571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-er 6511  df-en 6717  df-fin 6719  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-q 9572  df-rp 9604
This theorem is referenced by:  fiubz  10757  fiubnn  10758
  Copyright terms: Public domain W3C validator