Theorem fiubm 10937

Description: Lemma for fiubz 10938 and fiubnn 10939. A general form of those theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiubm.a	|- ( ph -> A C_ B )
fiubm.b	|- ( ph -> B C_ QQ )
fiubm.c	|- ( ph -> C e. B )
fiubm.f	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fiubm	|- ( ph -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B   x, C, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem fiubm

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiubm.c	. . 3 |- ( ph -> C e. B )
2		rzal 3549	. . 3 |- ( A = (/) -> A. y e. A y <_ C )
3		brralrspcev 4092	. . 3 |- ( ( C e. B /\ A. y e. A y <_ C ) -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )
5		fiubm.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ B )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A C_ B )
7		fiubm.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ QQ )
8	5, 7	sstrd 3194	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ QQ )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A C_ QQ )
10		fiubm.f	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A e. Fin )
12		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) )
13		fimaxq 10936	. . . 4 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
15		ssrexv 3249	. . 3 |- ( A C_ B -> ( E. x e. A A. y e. A y <_ x -> E. x e. B A. y e. A y <_ x ) )
16	6, 14, 15	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )
17		fin0or 6956	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ E. z z e. A ) )
18		n0r 3465	. . . 4 |- ( E. z z e. A -> A =/= (/) )
19	18	orim2i 762	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ E. z z e. A ) -> ( A = (/) \/ A =/= (/) ) )
20	10, 17, 19	3syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ A =/= (/) ) )
21	4, 16, 20	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   (/)c0 3451   class class class wbr 4034   Fincfn 6808   <_ cle 8079   QQcq 9710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-q 9711  df-rp 9746

This theorem is referenced by:  fiubz  10938  fiubnn  10939