Theorem fiubm 11199

Description: Lemma for fiubz 11200 and fiubnn 11201. A general form of those theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiubm.a	|- ( ph -> A C_ B )
fiubm.b	|- ( ph -> B C_ QQ )
fiubm.c	|- ( ph -> C e. B )
fiubm.f	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fiubm	|- ( ph -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B   x, C, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem fiubm

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiubm.c	. . 3 |- ( ph -> C e. B )
2		rzal 3609	. . 3 |- ( A = (/) -> A. y e. A y <_ C )
3		brralrspcev 4170	. . 3 |- ( ( C e. B /\ A. y e. A y <_ C ) -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )
5		fiubm.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ B )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A C_ B )
7		fiubm.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ QQ )
8	5, 7	sstrd 3250	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ QQ )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A C_ QQ )
10		fiubm.f	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A e. Fin )
12		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) )
13		fimaxq 11198	. . . 4 |- ( ( A C_ QQ /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
15		ssrexv 3305	. . 3 |- ( A C_ B -> ( E. x e. A A. y e. A y <_ x -> E. x e. B A. y e. A y <_ x ) )
16	6, 14, 15	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )
17		fin0or 7145	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ E. z z e. A ) )
18		n0r 3524	. . . 4 |- ( E. z z e. A -> A =/= (/) )
19	18	orim2i 769	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ E. z z e. A ) -> ( A = (/) \/ A =/= (/) ) )
20	10, 17, 19	3syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ A =/= (/) ) )
21	4, 16, 20	mpjaodan 806	1 |- ( ph -> E. x e. B A. y e. A y <_ x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3213   (/)c0 3510   class class class wbr 4111   Fincfn 6977   <_ cle 8311   QQcq 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-er 6769  df-en 6978  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-q 9955  df-rp 9990

This theorem is referenced by:  fiubz  11200  fiubnn  11201