Theorem fiubm 10902

Description: Lemma for fiubz 10903 and fiubnn 10904. A general form of those theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
fiubm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℚ)
fiubm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
fiubm.f	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fiubm	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem fiubm

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiubm.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		rzal 3545	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐶)
3		brralrspcev 4088	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5		fiubm.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7		fiubm.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℚ)
8	5, 7	sstrd 3190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℚ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℚ)
10		fiubm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
13		fimaxq 10901	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
15		ssrexv 3245	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
16	6, 14, 15	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
17		fin0or 6944	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴))
18		n0r 3461	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
19	18	orim2i 762	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
20	10, 17, 19	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
21	4, 16, 20	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3154  ∅c0 3447   class class class wbr 4030  Fincfn 6796   ≤ cle 8057  ℚcq 9687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688  df-rp 9723

This theorem is referenced by:  fiubz  10903  fiubnn  10904