Theorem fiubm 10737

Description: Lemma for fiubz 10738 and fiubnn 10739. A general form of those theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
fiubm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℚ)
fiubm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
fiubm.f	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fiubm	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem fiubm

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiubm.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		rzal 3505	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐶)
3		brralrspcev 4039	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5		fiubm.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7		fiubm.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℚ)
8	5, 7	sstrd 3151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℚ)
9	8	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℚ)
10		fiubm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11	10	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
13		fimaxq 10736	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
15		ssrexv 3206	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
16	6, 14, 15	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
17		fin0or 6848	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴))
18		n0r 3421	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
19	18	orim2i 751	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
20	10, 17, 19	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
21	4, 16, 20	mpjaodan 788	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2335  ∀wral 2443  ∃wrex 2444   ⊆ wss 3115  ∅c0 3408   class class class wbr 3981  Fincfn 6702   ≤ cle 7930  ℚcq 9553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-er 6497  df-en 6703  df-fin 6705  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-q 9554  df-rp 9586

This theorem is referenced by:  fiubz  10738  fiubnn  10739