Theorem fiubm 11063

Description: Lemma for fiubz 11064 and fiubnn 11065. A general form of those theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
fiubm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℚ)
fiubm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
fiubm.f	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fiubm	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem fiubm

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiubm.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		rzal 3589	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐶)
3		brralrspcev 4142	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5		fiubm.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7		fiubm.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℚ)
8	5, 7	sstrd 3234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℚ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℚ)
10		fiubm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
13		fimaxq 11062	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
15		ssrexv 3289	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
16	6, 14, 15	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
17		fin0or 7056	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴))
18		n0r 3505	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
19	18	orim2i 766	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
20	10, 17, 19	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
21	4, 16, 20	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491   class class class wbr 4083  Fincfn 6895   ≤ cle 8193  ℚcq 9826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-q 9827  df-rp 9862

This theorem is referenced by:  fiubz  11064  fiubnn  11065