Theorem fiubm 10975

Description: Lemma for fiubz 10976 and fiubnn 10977. A general form of those theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
fiubm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℚ)
fiubm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
fiubm.f	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fiubm	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem fiubm

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiubm.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		rzal 3558	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐶)
3		brralrspcev 4103	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5		fiubm.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7		fiubm.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℚ)
8	5, 7	sstrd 3203	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℚ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℚ)
10		fiubm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
13		fimaxq 10974	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
15		ssrexv 3258	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
16	6, 14, 15	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
17		fin0or 6985	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴))
18		n0r 3474	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
19	18	orim2i 763	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
20	10, 17, 19	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
21	4, 16, 20	mpjaodan 800	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   = wceq 1373  ∃wex 1515   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  ∀wral 2484  ∃wrex 2485   ⊆ wss 3166  ∅c0 3460   class class class wbr 4045  Fincfn 6829   ≤ cle 8110  ℚcq 9742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-er 6622  df-en 6830  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-q 9743  df-rp 9778

This theorem is referenced by:  fiubz  10976  fiubnn  10977