Theorem fiubm 11091

Description: Lemma for fiubz 11092 and fiubnn 11093. A general form of those theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
fiubm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℚ)
fiubm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
fiubm.f	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fiubm	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem fiubm

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiubm.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		rzal 3592	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐶)
3		brralrspcev 4147	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5		fiubm.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7		fiubm.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℚ)
8	5, 7	sstrd 3237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℚ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℚ)
10		fiubm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
13		fimaxq 11090	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
15		ssrexv 3292	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
16	6, 14, 15	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
17		fin0or 7074	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴))
18		n0r 3508	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
19	18	orim2i 768	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
20	10, 17, 19	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
21	4, 16, 20	mpjaodan 805	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510  ∃wrex 2511   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494   class class class wbr 4088  Fincfn 6908   ≤ cle 8214  ℚcq 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-q 9853  df-rp 9888

This theorem is referenced by:  fiubz  11092  fiubnn  11093