Theorem resqrexlemsqa 11543

Description: Lemma for resqrex 11545. The square of a limit is A. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemsqa	|- ( ph -> ( L ^ 2 ) = A )

Distinct variable groups:   A, e, j   y, A, z   e, F, j   y, F, z   i, F   e, L, j, i   y, L, z   e, i, j   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( e, i, j)   A( i)

Proof of Theorem resqrexlemsqa

Dummy variables a b c d x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11526	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5	4	ffvelcdmda 5772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. RR+ )
6		2z 9482	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> 2 e. ZZ )
8	5, 7	rpexpcld 10927	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) e. RR+ )
9		eqid 2229	. . . 4 |- ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
10	8, 9	fmptd 5791	. . 3 |- ( ph -> ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) : NN --> RR+ )
11		rpssre 9868	. . . 4 |- RR+ C_ RR
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
13	10, 12	fssd 5486	. 2 |- ( ph -> ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) : NN --> RR )
14		resqrexlemgt0.rr	. . 3 |- ( ph -> L e. RR )
15	14	resqcld 10929	. 2 |- ( ph -> ( L ^ 2 ) e. RR )
16		resqrexlemgt0.lim	. . . 4 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
17		oveq2 6015	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( L + e ) = ( L + a ) )
18	17	breq2d 4095	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + a ) ) )
19		oveq2 6015	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + a ) )
20	19	breq2d 4095	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( e = a -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
22	21	rexralbidv 2556	. . . . . 6 |- ( e = a -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
23	22	cbvralv 2765	. . . . 5 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
24		fveq2 5629	. . . . . . . 8 |- ( j = b -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` b ) )
25	24	raleqdv 2734	. . . . . . 7 |- ( j = b -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
26	25	cbvrexv 2766	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
27	26	ralbii 2536	. . . . 5 |- ( A. a e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
28		fveq2 5629	. . . . . . . . . 10 |- ( i = c -> ( F ` i ) = ( F ` c ) )
29	28	breq1d 4093	. . . . . . . . 9 |- ( i = c -> ( ( F ` i ) < ( L + a ) <-> ( F ` c ) < ( L + a ) ) )
30	28	oveq1d 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( i = c -> ( ( F ` i ) + a ) = ( ( F ` c ) + a ) )
31	30	breq2d 4095	. . . . . . . . 9 |- ( i = c -> ( L < ( ( F ` i ) + a ) <-> L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
32	29, 31	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( i = c -> ( ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
33	32	cbvralv 2765	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
34	33	rexbii 2537	. . . . . 6 |- ( E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
35	34	ralbii 2536	. . . . 5 |- ( A. a e. RR+ E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
36	23, 27, 35	3bitri 206	. . . 4 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
37	16, 36	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
38	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemglsq 11541	. 2 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. d e. ( ZZ>= ` b ) ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) < ( ( L ^ 2 ) + a ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) + a ) ) )
39	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemga 11542	. 2 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. d e. ( ZZ>= ` b ) ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) < ( A + a ) /\ A < ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) + a ) ) )
40	13, 15, 38, 2, 39	recvguniq 11514	1 |- ( ph -> ( L ^ 2 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   {csn 3666   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   e. cmpo 6009   RRcr 8006   0cc0 8007   1c1 8008   + caddc 8010   < clt 8189   <_ cle 8190   / cdiv 8827   NNcn 9118   2c2 9169   ZZcz 9454   ZZ>=cuz 9730   RR+crp 9857   seqcseq 10677   ^cexp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-rp 9858  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by:  resqrexlemex  11544