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Theorem resqrexlemsqa 10681
Description: Lemma for resqrex 10683. The square of a limit is  A. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
resqrexlemgt0.rr  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
resqrexlemgt0.lim  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemsqa  |-  ( ph  ->  ( L ^ 2 )  =  A )
Distinct variable groups:    A, e, j   
y, A, z    e, F, j    y, F, z   
i, F    e, L, j, i    y, L, z   
e, i, j    ph, y,
z
Allowed substitution hints:    ph( e, i, j)    A( i)

Proof of Theorem resqrexlemsqa
Dummy variables  a  b  c  d  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . 7  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemf 10664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
54ffvelrnda 5507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( F `
 x )  e.  RR+ )
6 2z 8979 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
76a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
85, 7rpexpcld 10334 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( F `  x ) ^ 2 )  e.  RR+ )
9 eqid 2113 . . . 4  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `
 x ) ^
2 ) )
108, 9fmptd 5526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) ) : NN --> RR+ )
11 rpssre 9346 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
1211a1i 9 . . 3  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
1310, 12fssd 5241 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) ) : NN --> RR )
14 resqrexlemgt0.rr . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
1514resqcld 10336 . 2  |-  ( ph  ->  ( L ^ 2 )  e.  RR )
16 resqrexlemgt0.lim . . . 4  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
17 oveq2 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  a  ->  ( L  +  e )  =  ( L  +  a ) )
1817breq2d 3905 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  a  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  e )  <->  ( F `  i )  <  ( L  +  a )
) )
19 oveq2 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  a  ->  (
( F `  i
)  +  e )  =  ( ( F `
 i )  +  a ) )
2019breq2d 3905 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  a  ->  ( L  <  ( ( F `
 i )  +  e )  <->  L  <  ( ( F `  i
)  +  a ) ) )
2118, 20anbi12d 462 . . . . . . 7  |-  ( e  =  a  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <-> 
( ( F `  i )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  a ) ) ) )
2221rexralbidv 2433 . . . . . 6  |-  ( e  =  a  ->  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  a ) ) ) )
2322cbvralv 2626 . . . . 5  |-  ( A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <->  A. a  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  a ) ) )
24 fveq2 5373 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  b  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  b )
)
2524raleqdv 2604 . . . . . . 7  |-  ( j  =  b  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `
 i )  +  a ) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  a ) ) ) )
2625cbvrexv 2627 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  a ) )  <->  E. b  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  a ) ) )
2726ralbii 2413 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  a ) )  <->  A. a  e.  RR+  E. b  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  a ) ) )
28 fveq2 5373 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  c  ->  ( F `  i )  =  ( F `  c ) )
2928breq1d 3903 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  c  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  a )  <->  ( F `  c )  <  ( L  +  a )
) )
3028oveq1d 5741 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  c  ->  (
( F `  i
)  +  a )  =  ( ( F `
 c )  +  a ) )
3130breq2d 3905 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  c  ->  ( L  <  ( ( F `
 i )  +  a )  <->  L  <  ( ( F `  c
)  +  a ) ) )
3229, 31anbi12d 462 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  c  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  a ) )  <-> 
( ( F `  c )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  c )  +  a ) ) ) )
3332cbvralv 2626 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  a ) )  <->  A. c  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  c )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  c )  +  a ) ) )
3433rexbii 2414 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  a ) )  <->  E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  c )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  c )  +  a ) ) )
3534ralbii 2413 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  RR+  E. b  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  a ) )  <->  A. a  e.  RR+  E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  c )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  c )  +  a ) ) )
3623, 27, 353bitri 205 . . . 4  |-  ( A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <->  A. a  e.  RR+  E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  c )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  c )  +  a ) ) )
3716, 36sylib 121 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  RR+  E. b  e.  NN  A. c  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  c )  <  ( L  +  a )  /\  L  <  ( ( F `  c )  +  a ) ) )
381, 2, 3, 14, 37, 9resqrexlemglsq 10679 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  RR+  E. b  e.  NN  A. d  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) ) `  d
)  <  ( ( L ^ 2 )  +  a )  /\  ( L ^ 2 )  < 
( ( ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) ) `
 d )  +  a ) ) )
391, 2, 3, 14, 37, 9resqrexlemga 10680 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  RR+  E. b  e.  NN  A. d  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) ) `  d
)  <  ( A  +  a )  /\  A  <  ( ( ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x
) ^ 2 ) ) `  d )  +  a ) ) )
4013, 15, 38, 2, 39recvguniq 10652 1  |-  ( ph  ->  ( L ^ 2 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1312    e. wcel 1461   A.wral 2388   E.wrex 2389    C_ wss 3035   {csn 3491   class class class wbr 3893    |-> cmpt 3947    X. cxp 4495   ` cfv 5079  (class class class)co 5726    e. cmpo 5728   RRcr 7539   0cc0 7540   1c1 7541    + caddc 7543    < clt 7717    <_ cle 7718    / cdiv 8338   NNcn 8623   2c2 8674   ZZcz 8951   ZZ>=cuz 9221   RR+crp 9336    seqcseq 10104   ^cexp 10178
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656  ax-arch 7657
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-recs 6153  df-frec 6239  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-inn 8624  df-2 8682  df-3 8683  df-4 8684  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-rp 9337  df-seqfrec 10105  df-exp 10179
This theorem is referenced by:  resqrexlemex  10682
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