Theorem resqrexlemsqa 11033

Description: Lemma for resqrex 11035. The square of a limit is A. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemsqa	|- ( ph -> ( L ^ 2 ) = A )

Distinct variable groups:   A, e, j   y, A, z   e, F, j   y, F, z   i, F   e, L, j, i   y, L, z   e, i, j   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( e, i, j)   A( i)

Proof of Theorem resqrexlemsqa

Dummy variables a b c d x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11016	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5	4	ffvelcdmda 5652	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. RR+ )
6		2z 9281	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> 2 e. ZZ )
8	5, 7	rpexpcld 10678	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) e. RR+ )
9		eqid 2177	. . . 4 |- ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
10	8, 9	fmptd 5671	. . 3 |- ( ph -> ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) : NN --> RR+ )
11		rpssre 9664	. . . 4 |- RR+ C_ RR
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
13	10, 12	fssd 5379	. 2 |- ( ph -> ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) : NN --> RR )
14		resqrexlemgt0.rr	. . 3 |- ( ph -> L e. RR )
15	14	resqcld 10680	. 2 |- ( ph -> ( L ^ 2 ) e. RR )
16		resqrexlemgt0.lim	. . . 4 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
17		oveq2 5883	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( L + e ) = ( L + a ) )
18	17	breq2d 4016	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + a ) ) )
19		oveq2 5883	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + a ) )
20	19	breq2d 4016	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( e = a -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
22	21	rexralbidv 2503	. . . . . 6 |- ( e = a -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
23	22	cbvralv 2704	. . . . 5 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
24		fveq2 5516	. . . . . . . 8 |- ( j = b -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` b ) )
25	24	raleqdv 2679	. . . . . . 7 |- ( j = b -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
26	25	cbvrexv 2705	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
27	26	ralbii 2483	. . . . 5 |- ( A. a e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
28		fveq2 5516	. . . . . . . . . 10 |- ( i = c -> ( F ` i ) = ( F ` c ) )
29	28	breq1d 4014	. . . . . . . . 9 |- ( i = c -> ( ( F ` i ) < ( L + a ) <-> ( F ` c ) < ( L + a ) ) )
30	28	oveq1d 5890	. . . . . . . . . 10 |- ( i = c -> ( ( F ` i ) + a ) = ( ( F ` c ) + a ) )
31	30	breq2d 4016	. . . . . . . . 9 |- ( i = c -> ( L < ( ( F ` i ) + a ) <-> L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
32	29, 31	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( i = c -> ( ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
33	32	cbvralv 2704	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
34	33	rexbii 2484	. . . . . 6 |- ( E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
35	34	ralbii 2483	. . . . 5 |- ( A. a e. RR+ E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
36	23, 27, 35	3bitri 206	. . . 4 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
37	16, 36	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
38	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemglsq 11031	. 2 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. d e. ( ZZ>= ` b ) ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) < ( ( L ^ 2 ) + a ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) + a ) ) )
39	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemga 11032	. 2 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. d e. ( ZZ>= ` b ) ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) < ( A + a ) /\ A < ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) + a ) ) )
40	13, 15, 38, 2, 39	recvguniq 11004	1 |- ( ph -> ( L ^ 2 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3130   {csn 3593   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   X. cxp 4625   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   e. cmpo 5877   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992   <_ cle 7993   / cdiv 8629   NNcn 8919   2c2 8970   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   RR+crp 9653   seqcseq 10445   ^cexp 10519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520

This theorem is referenced by:  resqrexlemex  11034