Theorem resqrexlemsqa 10681

Description: Lemma for resqrex 10683. The square of a limit is A. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemsqa	|- ( ph -> ( L ^ 2 ) = A )

Distinct variable groups:   A, e, j   y, A, z   e, F, j   y, F, z   i, F   e, L, j, i   y, L, z   e, i, j   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( e, i, j)   A( i)

Proof of Theorem resqrexlemsqa

Dummy variables a b c d x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 10664	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5	4	ffvelrnda 5507	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. RR+ )
6		2z 8979	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> 2 e. ZZ )
8	5, 7	rpexpcld 10334	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) e. RR+ )
9		eqid 2113	. . . 4 |- ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
10	8, 9	fmptd 5526	. . 3 |- ( ph -> ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) : NN --> RR+ )
11		rpssre 9346	. . . 4 |- RR+ C_ RR
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
13	10, 12	fssd 5241	. 2 |- ( ph -> ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) : NN --> RR )
14		resqrexlemgt0.rr	. . 3 |- ( ph -> L e. RR )
15	14	resqcld 10336	. 2 |- ( ph -> ( L ^ 2 ) e. RR )
16		resqrexlemgt0.lim	. . . 4 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
17		oveq2 5734	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( L + e ) = ( L + a ) )
18	17	breq2d 3905	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + a ) ) )
19		oveq2 5734	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + a ) )
20	19	breq2d 3905	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
21	18, 20	anbi12d 462	. . . . . . 7 |- ( e = a -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
22	21	rexralbidv 2433	. . . . . 6 |- ( e = a -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
23	22	cbvralv 2626	. . . . 5 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
24		fveq2 5373	. . . . . . . 8 |- ( j = b -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` b ) )
25	24	raleqdv 2604	. . . . . . 7 |- ( j = b -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
26	25	cbvrexv 2627	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
27	26	ralbii 2413	. . . . 5 |- ( A. a e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
28		fveq2 5373	. . . . . . . . . 10 |- ( i = c -> ( F ` i ) = ( F ` c ) )
29	28	breq1d 3903	. . . . . . . . 9 |- ( i = c -> ( ( F ` i ) < ( L + a ) <-> ( F ` c ) < ( L + a ) ) )
30	28	oveq1d 5741	. . . . . . . . . 10 |- ( i = c -> ( ( F ` i ) + a ) = ( ( F ` c ) + a ) )
31	30	breq2d 3905	. . . . . . . . 9 |- ( i = c -> ( L < ( ( F ` i ) + a ) <-> L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
32	29, 31	anbi12d 462	. . . . . . . 8 |- ( i = c -> ( ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
33	32	cbvralv 2626	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
34	33	rexbii 2414	. . . . . 6 |- ( E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
35	34	ralbii 2413	. . . . 5 |- ( A. a e. RR+ E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
36	23, 27, 35	3bitri 205	. . . 4 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
37	16, 36	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
38	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemglsq 10679	. 2 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. d e. ( ZZ>= ` b ) ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) < ( ( L ^ 2 ) + a ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) + a ) ) )
39	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemga 10680	. 2 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. d e. ( ZZ>= ` b ) ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) < ( A + a ) /\ A < ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) + a ) ) )
40	13, 15, 38, 2, 39	recvguniq 10652	1 |- ( ph -> ( L ^ 2 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1312   e. wcel 1461   A.wral 2388   E.wrex 2389   C_ wss 3035   {csn 3491   class class class wbr 3893   |-> cmpt 3947   X. cxp 4495   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   e. cmpo 5728   RRcr 7539   0cc0 7540   1c1 7541   + caddc 7543   < clt 7717   <_ cle 7718   / cdiv 8338   NNcn 8623   2c2 8674   ZZcz 8951   ZZ>=cuz 9221   RR+crp 9336   seqcseq 10104   ^cexp 10178

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656  ax-arch 7657

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-recs 6153  df-frec 6239  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-inn 8624  df-2 8682  df-3 8683  df-4 8684  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-rp 9337  df-seqfrec 10105  df-exp 10179

This theorem is referenced by:  resqrexlemex  10682