ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsle Unicode version

Theorem dvdsle 11571
Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use  /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsle  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)

Proof of Theorem dvdsle
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  M  <_  N
)  ->  M  <_  N )
21a1d 22 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  M  <_  N
)  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N ) )
3 simplll 523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
4 simpllr 524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
5 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
6 simplr 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  <  M )
73, 4, 5, 6dvdslelemd 11570 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
n  x.  M )  =/=  N )
87neneqd 2330 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  -.  ( n  x.  M
)  =  N )
98nrexdv 2528 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M
)  ->  -.  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  M )  =  N )
10 simpll 519 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M
)  ->  M  e.  ZZ )
11 simplr 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M
)  ->  N  e.  NN )
1211nnzd 9194 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M
)  ->  N  e.  ZZ )
13 divides 11524 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N ) )
1410, 12, 13syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M
)  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  M
)  =  N ) )
159, 14mtbird 663 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M
)  ->  -.  M  ||  N )
1615pm2.21d 609 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  M
)  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N ) )
17 nnz 9095 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
18 zlelttric 9121 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <  M ) )
1917, 18sylan2 284 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <  M ) )
202, 16, 19mpjaodan 788 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    = wceq 1332    e. wcel 1481   E.wrex 2418   class class class wbr 3935  (class class class)co 5780    x. cmul 7647    < clt 7822    <_ cle 7823   NNcn 8742   ZZcz 9076    || cdvds 11522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-mulrcl 7741  ax-addcom 7742  ax-mulcom 7743  ax-addass 7744  ax-mulass 7745  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-1rid 7749  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-precex 7752  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-apti 7757  ax-pre-ltadd 7758  ax-pre-mulgt0 7759  ax-pre-mulext 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-po 4224  df-iso 4225  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-reap 8359  df-ap 8366  df-div 8455  df-inn 8743  df-n0 9000  df-z 9077  df-q 9437  df-dvds 11523
This theorem is referenced by:  dvdsleabs  11572  dvdsssfz1  11579  fzm1ndvds  11583  fzo0dvdseq  11584  n2dvds1  11638  gcd1  11704  bezoutlemle  11725  dfgcd2  11731  gcdzeq  11739  bezoutr1  11750  lcmgcdlem  11787  ncoprmgcdne1b  11799  qredeq  11806  isprm3  11828  prmdvdsfz  11848  isprm6  11854  prmfac1  11859
  Copyright terms: Public domain W3C validator