Theorem dvdsle 11989

Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsle	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M || N -> M <_ N ) )

Proof of Theorem dvdsle

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ M <_ N ) -> M <_ N )
2	1	a1d 22	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ M <_ N ) -> ( M || N -> M <_ N ) )
3		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) /\ n e. ZZ ) -> M e. ZZ )
4		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) /\ n e. ZZ ) -> N e. NN )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
6		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) /\ n e. ZZ ) -> N < M )
7	3, 4, 5, 6	dvdslelemd 11988	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) /\ n e. ZZ ) -> ( n x. M ) =/= N )
8	7	neneqd 2385	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) /\ n e. ZZ ) -> -. ( n x. M ) = N )
9	8	nrexdv 2587	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> -. E. n e. ZZ ( n x. M ) = N )
10		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> M e. ZZ )
11		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> N e. NN )
12	11	nnzd 9441	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> N e. ZZ )
13		divides 11935	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> E. n e. ZZ ( n x. M ) = N ) )
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> ( M || N <-> E. n e. ZZ ( n x. M ) = N ) )
15	9, 14	mtbird 674	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> -. M || N )
16	15	pm2.21d 620	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> ( M || N -> M <_ N ) )
17		nnz 9339	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
18		zlelttric 9365	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ N < M ) )
19	17, 18	sylan2 286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M <_ N \/ N < M ) )
20	2, 16, 19	mpjaodan 799	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M || N -> M <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   x. cmul 7879   < clt 8056   <_ cle 8057   NNcn 8984   ZZcz 9320   || cdvds 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688  df-dvds 11934

This theorem is referenced by:  dvdsleabs  11990  dvdsssfz1  11997  fzm1ndvds  12001  fzo0dvdseq  12002  n2dvds1  12056  gcd1  12127  bezoutlemle  12148  dfgcd2  12154  gcdzeq  12162  bezoutr1  12173  lcmgcdlem  12218  ncoprmgcdne1b  12230  qredeq  12237  isprm3  12259  prmdvdsfz  12280  isprm5lem  12282  isprm6  12288  prmfac1  12293  pcpre1  12433  pcidlem  12464  pcprod  12487  pcfac  12491  pockthg  12498  1arith  12508  4sqlem11  12542  znidomb  14157  lgsdir  15192  lgsdilem2  15193  lgsne0  15195  lgsquadlem2  15235  2sqlem8  15280