Theorem dvdsle 12627

Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsle	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M || N -> M <_ N ) )

Proof of Theorem dvdsle

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ M <_ N ) -> M <_ N )
2	1	a1d 22	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ M <_ N ) -> ( M || N -> M <_ N ) )
3		simplll 539	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) /\ n e. ZZ ) -> M e. ZZ )
4		simpllr 540	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) /\ n e. ZZ ) -> N e. NN )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
6		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) /\ n e. ZZ ) -> N < M )
7	3, 4, 5, 6	dvdslelemd 12626	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) /\ n e. ZZ ) -> ( n x. M ) =/= N )
8	7	neneqd 2441	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) /\ n e. ZZ ) -> -. ( n x. M ) = N )
9	8	nrexdv 2643	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> -. E. n e. ZZ ( n x. M ) = N )
10		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> M e. ZZ )
11		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> N e. NN )
12	11	nnzd 9771	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> N e. ZZ )
13		divides 12572	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> E. n e. ZZ ( n x. M ) = N ) )
14	10, 12, 13	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> ( M || N <-> E. n e. ZZ ( n x. M ) = N ) )
15	9, 14	mtbird 684	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> -. M || N )
16	15	pm2.21d 628	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ N < M ) -> ( M || N -> M <_ N ) )
17		nnz 9667	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
18		zlelttric 9693	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ N < M ) )
19	17, 18	sylan2 286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M <_ N \/ N < M ) )
20	2, 16, 19	mpjaodan 810	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M || N -> M <_ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   NNcn 9306   ZZcz 9648   || cdvds 12570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649  df-q 10029  df-dvds 12571

This theorem is used by:  dvdsleabs  12628  dvdsssfz1  12635  fzm1ndvds  12639  fzo0dvdseq  12640  n2dvds1  12695  gcd1  12780  bezoutlemle  12801  dfgcd2  12807  gcdzeq  12815  bezoutr1  12826  lcmgcdlem  12871  ncoprmgcdne1b  12883  qredeq  12890  isprm3  12912  prmdvdsfz  12934  isprm5lem  12936  isprm6  12942  prmfac1  12947  pcpre1  13091  pcidlem  13122  pcprod  13145  pcfac  13149  pockthg  13156  1arith  13166  4sqlem11  13200  znidomb  15042  lgsdir  16252  lgsdilem2  16253  lgsne0  16255  lgsquadlem2  16295  2sqlem8  16340