Theorem fzm1ndvds 11402

Description: No number between 1 and M - 1 divides M. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzm1ndvds	|- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> -. M || N )

Proof of Theorem fzm1ndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 9701	. . . . 5 |- ( N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> N <_ ( M - 1 ) )
2	1	adantl 273	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> N <_ ( M - 1 ) )
3		elfzelz 9699	. . . . . 6 |- ( N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> N e. ZZ )
4	3	adantl 273	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
5		nnz 8977	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
6	5	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
7		zltlem1 9015	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> N <_ ( M - 1 ) ) )
8	4, 6, 7	syl2anc 406	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( N < M <-> N <_ ( M - 1 ) ) )
9	2, 8	mpbird 166	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> N < M )
10		elfznn 9727	. . . . . 6 |- ( N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> N e. NN )
11	10	adantl 273	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> N e. NN )
12	11	nnzd 9076	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
13		zltnle 9004	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
14	12, 6, 13	syl2anc 406	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
15	9, 14	mpbid 146	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> -. M <_ N )
16		dvdsle 11390	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M || N -> M <_ N ) )
17	6, 11, 16	syl2anc 406	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( M || N -> M <_ N ) )
18	15, 17	mtod 635	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> -. M || N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   1c1 7548   < clt 7724   <_ cle 7725   - cmin 7856   NNcn 8630   ZZcz 8958   ...cfz 9683   || cdvds 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-fz 9684  df-dvds 11342

This theorem is referenced by:  pw2dvds  11689