Theorem fzm1ndvds 11861

Description: No number between 1 and M - 1 divides M. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzm1ndvds	|- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> -. M || N )

Proof of Theorem fzm1ndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 10027	. . . . 5 |- ( N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> N <_ ( M - 1 ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> N <_ ( M - 1 ) )
3		elfzelz 10024	. . . . . 6 |- ( N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> N e. ZZ )
4	3	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
5		nnz 9271	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
7		zltlem1 9309	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> N <_ ( M - 1 ) ) )
8	4, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( N < M <-> N <_ ( M - 1 ) ) )
9	2, 8	mpbird 167	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> N < M )
10		elfznn 10053	. . . . . 6 |- ( N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) -> N e. NN )
11	10	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> N e. NN )
12	11	nnzd 9373	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
13		zltnle 9298	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
14	12, 6, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
15	9, 14	mpbid 147	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> -. M <_ N )
16		dvdsle 11849	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M || N -> M <_ N ) )
17	6, 11, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> ( M || N -> M <_ N ) )
18	15, 17	mtod 663	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) -> -. M || N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   1c1 7811   < clt 7991   <_ cle 7992   - cmin 8127   NNcn 8918   ZZcz 9252   ...cfz 10007   || cdvds 11793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-fz 10008  df-dvds 11794

This theorem is referenced by:  pw2dvds  12165  prmdivdiv  12236  reumodprminv  12252  lgseisenlem1  14386  lgseisenlem2  14387