ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzm1ndvds Unicode version

Theorem fzm1ndvds 10763
Description: No number between  1 and  M  -  1 divides  M. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzm1ndvds  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  -.  M  ||  N
)

Proof of Theorem fzm1ndvds
StepHypRef Expression
1 elfzle2 9377 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  N  <_  ( M  -  1 ) )
21adantl 271 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  <_  ( M  -  1 ) )
3 elfzelz 9375 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
43adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
5 nnz 8705 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
65adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
7 zltlem1 8743 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  N  <_  ( M  - 
1 ) ) )
84, 6, 7syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  ( N  < 
M  <->  N  <_  ( M  -  1 ) ) )
92, 8mpbird 165 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  <  M
)
10 elfznn 9403 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  N  e.  NN )
1110adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
1211nnzd 8803 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
13 zltnle 8732 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
1412, 6, 13syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  ( N  < 
M  <->  -.  M  <_  N ) )
159, 14mpbid 145 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  -.  M  <_  N )
16 dvdsle 10751 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)
176, 11, 16syl2anc 403 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N
) )
1815, 17mtod 622 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  -.  M  ||  N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1436   class class class wbr 3822  (class class class)co 5615   1c1 7298    < clt 7469    <_ cle 7470    - cmin 7600   NNcn 8360   ZZcz 8686   ...cfz 9359    || cdvds 10702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-q 9040  df-fz 9360  df-dvds 10703
This theorem is referenced by:  pw2dvds  11050
  Copyright terms: Public domain W3C validator