Theorem fzsplit2 10290

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit2	⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10265	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2		eluzel2 9765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		zlelttric 9529	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑥))
5	1, 3, 4	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑥))
6		elfzuz 10261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		elfz5 10257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥 ≤ 𝐾))
8	6, 3, 7	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥 ≤ 𝐾))
9		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluzelz 9770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
12		eluz 9774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
13	11, 1, 12	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
14		elfzuz3 10262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
16		elfzuzb 10259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
17	16	rbaib 928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
18	15, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
19		zltp1le 9539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
20	3, 1, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
21	13, 18, 20	3bitr4d 220	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝐾 < 𝑥))
22	8, 21	orbi12d 800	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑥)))
23	5, 22	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
24		elfzuz 10261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	24	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
27		elfzuz3 10262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
28		uztrn 9778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
29	26, 27, 28	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
30		elfzuzb 10259	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
31	25, 29, 30	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
32		elfzuz 10261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
33		uztrn 9778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	32, 9, 33	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		elfzuz3 10262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
36	35	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
37	34, 36, 30	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
38	31, 37	jaodan 804	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
39	23, 38	impbida 600	. . 3 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
40		elun 3347	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
41	39, 40	bitr4di 198	. 2 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
42	41	eqrdv 2228	1 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ∪ cun 3197   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  1c1 8038   + caddc 8040   < clt 8219   ≤ cle 8220  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760  ...cfz 10248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-fz 10249

This theorem is referenced by:  fzsplit  10291  fzpred  10310  fz0to4untppr  10364  gausslemma2dlem6  15825