Theorem fzsplit2 10473

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit2	⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2		eluzel2 9943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		zlelttric 9701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑥))
5	1, 3, 4	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑥))
6		elfzuz 10442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		elfz5 10438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥 ≤ 𝐾))
8	6, 3, 7	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥 ≤ 𝐾))
9		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluzelz 9948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
12		eluz 9952	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
13	11, 1, 12	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
14		elfzuz3 10443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
16		elfzuzb 10440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
17	16	rbaib 933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
18	15, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
19		zltp1le 9711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
20	3, 1, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
21	13, 18, 20	3bitr4d 220	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝐾 < 𝑥))
22	8, 21	orbi12d 805	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑥)))
23	5, 22	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
24		elfzuz 10442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	24	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
27		elfzuz3 10443	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
28		uztrn 9956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
29	26, 27, 28	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
30		elfzuzb 10440	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
31	25, 29, 30	sylanbrc 421	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
32		elfzuz 10442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
33		uztrn 9956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	32, 9, 33	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		elfzuz3 10443	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
36	35	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
37	34, 36, 30	sylanbrc 421	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
38	31, 37	jaodan 809	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
39	23, 38	impbida 604	. . 3 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
40		elun 3370	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
41	39, 40	bitr4di 198	. 2 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
42	41	eqrdv 2236	1 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  1c1 8187   + caddc 8189   < clt 8367   ≤ cle 8368  ℤcz 9656  ℤ_≥cuz 9938  ...cfz 10429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430

This theorem is used by:  fzsplit  10474  fzspl  10494  fzpred  10495  fz0to4untppr  10549  gausslemma2dlem6  16403