Theorem fzsplit2 10052

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit2	⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10027	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2		eluzel2 9535	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		zlelttric 9300	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑥))
5	1, 3, 4	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑥))
6		elfzuz 10023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		elfz5 10019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥 ≤ 𝐾))
8	6, 3, 7	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥 ≤ 𝐾))
9		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluzelz 9539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
12		eluz 9543	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
13	11, 1, 12	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
14		elfzuz3 10024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
16		elfzuzb 10021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
17	16	rbaib 921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
18	15, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
19		zltp1le 9309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
20	3, 1, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
21	13, 18, 20	3bitr4d 220	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝐾 < 𝑥))
22	8, 21	orbi12d 793	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥 ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < 𝑥)))
23	5, 22	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
24		elfzuz 10023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	24	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
27		elfzuz3 10024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
28		uztrn 9546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
29	26, 27, 28	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
30		elfzuzb 10021	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
31	25, 29, 30	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
32		elfzuz 10023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
33		uztrn 9546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	32, 9, 33	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		elfzuz3 10024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
36	35	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
37	34, 36, 30	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
38	31, 37	jaodan 797	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
39	23, 38	impbida 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
40		elun 3278	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
41	39, 40	bitr4di 198	. 2 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
42	41	eqrdv 2175	1 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3129   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   ≤ cle 7995  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011

This theorem is referenced by:  fzsplit  10053  fzpred  10072  fz0to4untppr  10126