ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzsplit2 GIF version

Theorem fzsplit2 10036
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 10011 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2 eluzel2 9522 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
32adantl 277 . . . . . 6 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 zlelttric 9287 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥𝐾𝐾 < 𝑥))
51, 3, 4syl2anr 290 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥𝐾𝐾 < 𝑥))
6 elfzuz 10007 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
7 elfz5 10003 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥𝐾))
86, 3, 7syl2anr 290 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥𝐾))
9 simpl 109 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
10 eluzelz 9526 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
12 eluz 9530 . . . . . . . 8 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
1311, 1, 12syl2an 289 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
14 elfzuz3 10008 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
1514adantl 277 . . . . . . . 8 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
16 elfzuzb 10005 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
1716rbaib 921 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑥) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
1815, 17syl 14 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
19 zltp1le 9296 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
203, 1, 19syl2an 289 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
2113, 18, 203bitr4d 220 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝐾 < 𝑥))
228, 21orbi12d 793 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥𝐾𝐾 < 𝑥)))
235, 22mpbird 167 . . . 4 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
24 elfzuz 10007 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
2524adantl 277 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
26 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
27 elfzuz3 10008 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑥))
28 uztrn 9533 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
2926, 27, 28syl2an 289 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
30 elfzuzb 10005 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
3125, 29, 30sylanbrc 417 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
32 elfzuz 10007 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
33 uztrn 9533 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
3432, 9, 33syl2anr 290 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
35 elfzuz3 10008 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
3635adantl 277 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
3734, 36, 30sylanbrc 417 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
3831, 37jaodan 797 . . . 4 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
3923, 38impbida 596 . . 3 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
40 elun 3276 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
4139, 40bitr4di 198 . 2 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
4241eqrdv 2175 1 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  cun 3127   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982  cle 7983  cz 9242  cuz 9517  ...cfz 9995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996
This theorem is referenced by:  fzsplit  10037  fzpred  10056  fz0to4untppr  10110
  Copyright terms: Public domain W3C validator