Theorem intfracq 10706

Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intqfrac2 10705. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfracq.1	|- Z = ( |_ ` ( M / N ) )
intfracq.2	|- F = ( ( M / N ) - Z )

Assertion

Ref	Expression
intfracq	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )

Proof of Theorem intfracq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znq 9974	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. QQ )
2		intfracq.1	. . . . 5 |- Z = ( |_ ` ( M / N ) )
3		intfracq.2	. . . . 5 |- F = ( ( M / N ) - Z )
4	2, 3	intqfrac2 10705	. . . 4 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )
6	5	simp1d 1036	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ F )
7		qfraclt1 10664	. . . . . . 7 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) < 1 )
8	1, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) < 1 )
9	2	oveq2i 6069	. . . . . . . 8 |- ( ( M / N ) - Z ) = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) )
10	3, 9	eqtri 2255	. . . . . . 7 |- F = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) )
11	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) )
12		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
13	12	nncnd 9268	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
14	12	nnap0d 9300	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N # 0 )
15	13, 14	dividapd 9077	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N / N ) = 1 )
16	8, 11, 15	3brtr4d 4146	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F < ( N / N ) )
17		qre 9975	. . . . . . . . 9 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( M / N ) e. RR )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. RR )
19	1	flqcld 10661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( M / N ) ) e. ZZ )
20	2, 19	eqeltrid 2321	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. ZZ )
21	20	zred 9718	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. RR )
22	18, 21	resubcld 8671	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M / N ) - Z ) e. RR )
23	3, 22	eqeltrid 2321	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F e. RR )
24		nnre 9261	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
25	24	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
26		nngt0 9279	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < N )
27	24, 26	jca 306	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
29		ltmuldiv2 9166	. . . . . 6 |- ( ( F e. RR /\ N e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. F ) < N <-> F < ( N / N ) ) )
30	23, 25, 28, 29	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) < N <-> F < ( N / N ) ) )
31	16, 30	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) < N )
32	3	oveq2i 6069	. . . . . . 7 |- ( N x. F ) = ( N x. ( ( M / N ) - Z ) )
33	18	recnd 8318	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. CC )
34	20	zcnd 9719	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. CC )
35	13, 33, 34	subdid 8704	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( ( M / N ) - Z ) ) = ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) )
36	32, 35	eqtrid 2279	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) = ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) )
37		zcn 9599	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. CC )
39	38, 13, 14	divcanap2d 9083	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) = M )
40		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
41	39, 40	eqeltrd 2311	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) e. ZZ )
42		nnz 9613	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
43	42	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
44	43, 20	zmulcld 9724	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. Z ) e. ZZ )
45	41, 44	zsubcld 9723	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) e. ZZ )
46	36, 45	eqeltrd 2311	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) e. ZZ )
47		zltlem1 9652	. . . . 5 |- ( ( ( N x. F ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N x. F ) < N <-> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) ) )
48	46, 43, 47	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) < N <-> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) ) )
49	31, 48	mpbid 147	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) )
50		peano2rem 8556	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
51	24, 50	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
52	51	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N - 1 ) e. RR )
53		lemuldiv2 9173	. . . 4 |- ( ( F e. RR /\ ( N - 1 ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) <-> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) ) )
54	23, 52, 28, 53	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) <-> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) ) )
55	49, 54	mpbid 147	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
56	5	simp3d 1038	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) = ( Z + F ) )
57	6, 55, 56	3jca 1204	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   ZZcz 9594   QQcq 9969   |_cfl 10652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-q 9970  df-rp 10005  df-fl 10654

This theorem is referenced by:  flqdiv  10707