Theorem intfracq 10412

Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intqfrac2 10411. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfracq.1	|- Z = ( |_ ` ( M / N ) )
intfracq.2	|- F = ( ( M / N ) - Z )

Assertion

Ref	Expression
intfracq	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )

Proof of Theorem intfracq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znq 9698	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. QQ )
2		intfracq.1	. . . . 5 |- Z = ( |_ ` ( M / N ) )
3		intfracq.2	. . . . 5 |- F = ( ( M / N ) - Z )
4	2, 3	intqfrac2 10411	. . . 4 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )
6	5	simp1d 1011	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ F )
7		qfraclt1 10370	. . . . . . 7 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) < 1 )
8	1, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) < 1 )
9	2	oveq2i 5933	. . . . . . . 8 |- ( ( M / N ) - Z ) = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) )
10	3, 9	eqtri 2217	. . . . . . 7 |- F = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) )
11	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) )
12		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
13	12	nncnd 9004	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
14	12	nnap0d 9036	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N # 0 )
15	13, 14	dividapd 8813	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N / N ) = 1 )
16	8, 11, 15	3brtr4d 4065	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F < ( N / N ) )
17		qre 9699	. . . . . . . . 9 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( M / N ) e. RR )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. RR )
19	1	flqcld 10367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( M / N ) ) e. ZZ )
20	2, 19	eqeltrid 2283	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. ZZ )
21	20	zred 9448	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. RR )
22	18, 21	resubcld 8407	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M / N ) - Z ) e. RR )
23	3, 22	eqeltrid 2283	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F e. RR )
24		nnre 8997	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
25	24	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
26		nngt0 9015	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < N )
27	24, 26	jca 306	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
29		ltmuldiv2 8902	. . . . . 6 |- ( ( F e. RR /\ N e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. F ) < N <-> F < ( N / N ) ) )
30	23, 25, 28, 29	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) < N <-> F < ( N / N ) ) )
31	16, 30	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) < N )
32	3	oveq2i 5933	. . . . . . 7 |- ( N x. F ) = ( N x. ( ( M / N ) - Z ) )
33	18	recnd 8055	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. CC )
34	20	zcnd 9449	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. CC )
35	13, 33, 34	subdid 8440	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( ( M / N ) - Z ) ) = ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) )
36	32, 35	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) = ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) )
37		zcn 9331	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. CC )
39	38, 13, 14	divcanap2d 8819	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) = M )
40		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
41	39, 40	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) e. ZZ )
42		nnz 9345	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
43	42	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
44	43, 20	zmulcld 9454	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. Z ) e. ZZ )
45	41, 44	zsubcld 9453	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) e. ZZ )
46	36, 45	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) e. ZZ )
47		zltlem1 9383	. . . . 5 |- ( ( ( N x. F ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N x. F ) < N <-> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) ) )
48	46, 43, 47	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) < N <-> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) ) )
49	31, 48	mpbid 147	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) )
50		peano2rem 8293	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
51	24, 50	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
52	51	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N - 1 ) e. RR )
53		lemuldiv2 8909	. . . 4 |- ( ( F e. RR /\ ( N - 1 ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) <-> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) ) )
54	23, 52, 28, 53	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) <-> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) ) )
55	49, 54	mpbid 147	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
56	5	simp3d 1013	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) = ( Z + F ) )
57	6, 55, 56	3jca 1179	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   / cdiv 8699   NNcn 8990   ZZcz 9326   QQcq 9693   |_cfl 10358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360

This theorem is referenced by:  flqdiv  10413