Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intfracq Unicode version

Theorem intfracq 10086
 Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intqfrac2 10085. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
intfracq.1
intfracq.2
Assertion
Ref Expression
intfracq

Proof of Theorem intfracq
StepHypRef Expression
1 znq 9409 . . . 4
2 intfracq.1 . . . . 5
3 intfracq.2 . . . . 5
42, 3intqfrac2 10085 . . . 4
51, 4syl 14 . . 3
65simp1d 993 . 2
7 qfraclt1 10046 . . . . . . 7
81, 7syl 14 . . . . . 6
92oveq2i 5778 . . . . . . . 8
103, 9eqtri 2158 . . . . . . 7
1110a1i 9 . . . . . 6
12 simpr 109 . . . . . . . 8
1312nncnd 8727 . . . . . . 7
1412nnap0d 8759 . . . . . . 7 #
1513, 14dividapd 8539 . . . . . 6
168, 11, 153brtr4d 3955 . . . . 5
17 qre 9410 . . . . . . . . 9
181, 17syl 14 . . . . . . . 8
191flqcld 10043 . . . . . . . . . 10
202, 19eqeltrid 2224 . . . . . . . . 9
2120zred 9166 . . . . . . . 8
2218, 21resubcld 8136 . . . . . . 7
233, 22eqeltrid 2224 . . . . . 6
24 nnre 8720 . . . . . . 7
2524adantl 275 . . . . . 6
26 nngt0 8738 . . . . . . . 8
2724, 26jca 304 . . . . . . 7
2827adantl 275 . . . . . 6
29 ltmuldiv2 8626 . . . . . 6
3023, 25, 28, 29syl3anc 1216 . . . . 5
3116, 30mpbird 166 . . . 4
323oveq2i 5778 . . . . . . 7
3318recnd 7787 . . . . . . . 8
3420zcnd 9167 . . . . . . . 8
3513, 33, 34subdid 8169 . . . . . . 7
3632, 35syl5eq 2182 . . . . . 6
37 zcn 9052 . . . . . . . . . 10
3837adantr 274 . . . . . . . . 9
3938, 13, 14divcanap2d 8545 . . . . . . . 8
40 simpl 108 . . . . . . . 8
4139, 40eqeltrd 2214 . . . . . . 7
42 nnz 9066 . . . . . . . . 9
4342adantl 275 . . . . . . . 8
4443, 20zmulcld 9172 . . . . . . 7
4541, 44zsubcld 9171 . . . . . 6
4636, 45eqeltrd 2214 . . . . 5
47 zltlem1 9104 . . . . 5
4846, 43, 47syl2anc 408 . . . 4
4931, 48mpbid 146 . . 3
50 peano2rem 8022 . . . . . 6
5124, 50syl 14 . . . . 5
5251adantl 275 . . . 4
53 lemuldiv2 8633 . . . 4
5423, 52, 28, 53syl3anc 1216 . . 3
5549, 54mpbid 146 . 2
565simp3d 995 . 2
576, 55, 563jca 1161 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480   class class class wbr 3924  cfv 5118  (class class class)co 5767  cc 7611  cr 7612  cc0 7613  c1 7614   caddc 7616   cmul 7618   clt 7793   cle 7794   cmin 7926   cdiv 8425  cn 8713  cz 9047  cq 9404  cfl 10034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405  df-rp 9435  df-fl 10036 This theorem is referenced by:  flqdiv  10087
 Copyright terms: Public domain W3C validator