Theorem intfracq 10542

Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intqfrac2 10541. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfracq.1	|- Z = ( |_ ` ( M / N ) )
intfracq.2	|- F = ( ( M / N ) - Z )

Assertion

Ref	Expression
intfracq	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )

Proof of Theorem intfracq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znq 9819	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. QQ )
2		intfracq.1	. . . . 5 |- Z = ( |_ ` ( M / N ) )
3		intfracq.2	. . . . 5 |- F = ( ( M / N ) - Z )
4	2, 3	intqfrac2 10541	. . . 4 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )
6	5	simp1d 1033	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ F )
7		qfraclt1 10500	. . . . . . 7 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) < 1 )
8	1, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) < 1 )
9	2	oveq2i 6012	. . . . . . . 8 |- ( ( M / N ) - Z ) = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) )
10	3, 9	eqtri 2250	. . . . . . 7 |- F = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) )
11	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) )
12		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
13	12	nncnd 9124	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
14	12	nnap0d 9156	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N # 0 )
15	13, 14	dividapd 8933	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N / N ) = 1 )
16	8, 11, 15	3brtr4d 4115	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F < ( N / N ) )
17		qre 9820	. . . . . . . . 9 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( M / N ) e. RR )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. RR )
19	1	flqcld 10497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( M / N ) ) e. ZZ )
20	2, 19	eqeltrid 2316	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. ZZ )
21	20	zred 9569	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. RR )
22	18, 21	resubcld 8527	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M / N ) - Z ) e. RR )
23	3, 22	eqeltrid 2316	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F e. RR )
24		nnre 9117	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
25	24	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
26		nngt0 9135	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < N )
27	24, 26	jca 306	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
29		ltmuldiv2 9022	. . . . . 6 |- ( ( F e. RR /\ N e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. F ) < N <-> F < ( N / N ) ) )
30	23, 25, 28, 29	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) < N <-> F < ( N / N ) ) )
31	16, 30	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) < N )
32	3	oveq2i 6012	. . . . . . 7 |- ( N x. F ) = ( N x. ( ( M / N ) - Z ) )
33	18	recnd 8175	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. CC )
34	20	zcnd 9570	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. CC )
35	13, 33, 34	subdid 8560	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( ( M / N ) - Z ) ) = ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) )
36	32, 35	eqtrid 2274	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) = ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) )
37		zcn 9451	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. CC )
39	38, 13, 14	divcanap2d 8939	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) = M )
40		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
41	39, 40	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) e. ZZ )
42		nnz 9465	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
43	42	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
44	43, 20	zmulcld 9575	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. Z ) e. ZZ )
45	41, 44	zsubcld 9574	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) e. ZZ )
46	36, 45	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) e. ZZ )
47		zltlem1 9504	. . . . 5 |- ( ( ( N x. F ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N x. F ) < N <-> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) ) )
48	46, 43, 47	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) < N <-> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) ) )
49	31, 48	mpbid 147	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) )
50		peano2rem 8413	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
51	24, 50	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
52	51	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N - 1 ) e. RR )
53		lemuldiv2 9029	. . . 4 |- ( ( F e. RR /\ ( N - 1 ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) <-> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) ) )
54	23, 52, 28, 53	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) <-> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) ) )
55	49, 54	mpbid 147	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
56	5	simp3d 1035	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) = ( Z + F ) )
57	6, 55, 56	3jca 1201	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   < clt 8181   <_ cle 8182   - cmin 8317   / cdiv 8819   NNcn 9110   ZZcz 9446   QQcq 9814   |_cfl 10488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-q 9815  df-rp 9850  df-fl 10490

This theorem is referenced by:  flqdiv  10543