ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  irradd Unicode version

Theorem irradd 9100
Description: The sum of an irrational number and a rational number is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
irradd  |-  ( ( A  e.  ( RR 
\  QQ )  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ( RR 
\  QQ ) )

Proof of Theorem irradd
StepHypRef Expression
1 eldif 3006 . . 3  |-  ( A  e.  ( RR  \  QQ )  <->  ( A  e.  RR  /\  -.  A  e.  QQ ) )
2 qre 9079 . . . . . 6  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
3 readdcl 7447 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
42, 3sylan2 280 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
54adantlr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
-.  A  e.  QQ )  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
6 qsubcl 9092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  e.  QQ )
76expcom 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  QQ  ->  (
( A  +  B
)  e.  QQ  ->  ( ( A  +  B
)  -  B )  e.  QQ ) )
87adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  e.  QQ  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  e.  QQ ) )
9 recn 7454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
10 qcn 9088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
11 pncan 7667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
129, 10, 11syl2an 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
1312eleq1d 2156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  B )  e.  QQ  <->  A  e.  QQ ) )
148, 13sylibd 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  e.  QQ  ->  A  e.  QQ ) )
1514con3d 596 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( -.  A  e.  QQ  ->  -.  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
1615ex 113 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  QQ  ->  ( -.  A  e.  QQ  ->  -.  ( A  +  B )  e.  QQ ) ) )
1716com23 77 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  e.  QQ  ->  ( B  e.  QQ  ->  -.  ( A  +  B )  e.  QQ ) ) )
1817imp31 252 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
-.  A  e.  QQ )  /\  B  e.  QQ )  ->  -.  ( A  +  B )  e.  QQ )
195, 18jca 300 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
-.  A  e.  QQ )  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  -.  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
201, 19sylanb 278 . 2  |-  ( ( A  e.  ( RR 
\  QQ )  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\ 
-.  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
21 eldif 3006 . 2  |-  ( ( A  +  B )  e.  ( RR  \  QQ )  <->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  -.  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
2220, 21sylibr 132 1  |-  ( ( A  e.  ( RR 
\  QQ )  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ( RR 
\  QQ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438    \ cdif 2994  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328    + caddc 7332    - cmin 7632   QQcq 9073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-q 9074
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator