Theorem irradd 9644

Description: The sum of an irrational number and a rational number is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
irradd	|- ( ( A e. ( RR \ QQ ) /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. ( RR \ QQ ) )

Proof of Theorem irradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3138	. . 3 |- ( A e. ( RR \ QQ ) <-> ( A e. RR /\ -. A e. QQ ) )
2		qre 9623	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
3		readdcl 7936	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. RR )
5	4	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ -. A e. QQ ) /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. RR )
6		qsubcl 9636	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A + B ) e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) - B ) e. QQ )
7	6	expcom 116	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. QQ -> ( ( A + B ) e. QQ -> ( ( A + B ) - B ) e. QQ ) )
8	7	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) e. QQ -> ( ( A + B ) - B ) e. QQ ) )
9		recn 7943	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> A e. CC )
10		qcn 9632	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
11		pncan 8161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )
13	12	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( ( ( A + B ) - B ) e. QQ <-> A e. QQ ) )
14	8, 13	sylibd 149	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) e. QQ -> A e. QQ ) )
15	14	con3d 631	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( -. A e. QQ -> -. ( A + B ) e. QQ ) )
16	15	ex 115	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( B e. QQ -> ( -. A e. QQ -> -. ( A + B ) e. QQ ) ) )
17	16	com23 78	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( -. A e. QQ -> ( B e. QQ -> -. ( A + B ) e. QQ ) ) )
18	17	imp31 256	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ -. A e. QQ ) /\ B e. QQ ) -> -. ( A + B ) e. QQ )
19	5, 18	jca 306	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ -. A e. QQ ) /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) e. RR /\ -. ( A + B ) e. QQ ) )
20	1, 19	sylanb 284	. 2 |- ( ( A e. ( RR \ QQ ) /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) e. RR /\ -. ( A + B ) e. QQ ) )
21		eldif 3138	. 2 |- ( ( A + B ) e. ( RR \ QQ ) <-> ( ( A + B ) e. RR /\ -. ( A + B ) e. QQ ) )
22	20, 21	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ( RR \ QQ ) /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. ( RR \ QQ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   \ cdif 3126  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   + caddc 7813   - cmin 8126   QQcq 9617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-q 9618

This theorem is referenced by: (None)