Theorem irradd 9648

Description: The sum of an irrational number and a rational number is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
irradd	|- ( ( A e. ( RR \ QQ ) /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. ( RR \ QQ ) )

Proof of Theorem irradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3140	. . 3 |- ( A e. ( RR \ QQ ) <-> ( A e. RR /\ -. A e. QQ ) )
2		qre 9627	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
3		readdcl 7939	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. RR )
5	4	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ -. A e. QQ ) /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. RR )
6		qsubcl 9640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A + B ) e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) - B ) e. QQ )
7	6	expcom 116	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. QQ -> ( ( A + B ) e. QQ -> ( ( A + B ) - B ) e. QQ ) )
8	7	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) e. QQ -> ( ( A + B ) - B ) e. QQ ) )
9		recn 7946	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> A e. CC )
10		qcn 9636	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
11		pncan 8165	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )
13	12	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( ( ( A + B ) - B ) e. QQ <-> A e. QQ ) )
14	8, 13	sylibd 149	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) e. QQ -> A e. QQ ) )
15	14	con3d 631	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( -. A e. QQ -> -. ( A + B ) e. QQ ) )
16	15	ex 115	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( B e. QQ -> ( -. A e. QQ -> -. ( A + B ) e. QQ ) ) )
17	16	com23 78	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( -. A e. QQ -> ( B e. QQ -> -. ( A + B ) e. QQ ) ) )
18	17	imp31 256	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ -. A e. QQ ) /\ B e. QQ ) -> -. ( A + B ) e. QQ )
19	5, 18	jca 306	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ -. A e. QQ ) /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) e. RR /\ -. ( A + B ) e. QQ ) )
20	1, 19	sylanb 284	. 2 |- ( ( A e. ( RR \ QQ ) /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) e. RR /\ -. ( A + B ) e. QQ ) )
21		eldif 3140	. 2 |- ( ( A + B ) e. ( RR \ QQ ) <-> ( ( A + B ) e. RR /\ -. ( A + B ) e. QQ ) )
22	20, 21	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ( RR \ QQ ) /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. ( RR \ QQ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   \ cdif 3128  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   + caddc 7816   - cmin 8130   QQcq 9621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622

This theorem is referenced by: (None)