Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  irrmul Unicode version

Theorem irrmul 9388
 Description: The product of a real which is not rational with a nonzero rational is not rational. Note that by "not rational" we mean the negation of "is rational" (whereas "irrational" is often defined to mean apart from any rational number - given excluded middle these two definitions would be equivalent). (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
irrmul

Proof of Theorem irrmul
StepHypRef Expression
1 eldif 3048 . . 3
2 qre 9366 . . . . . . 7
3 remulcl 7712 . . . . . . 7
42, 3sylan2 282 . . . . . 6
54ad2ant2r 498 . . . . 5
6 qdivcl 9384 . . . . . . . . . . . . 13
763expb 1165 . . . . . . . . . . . 12
87expcom 115 . . . . . . . . . . 11
98adantl 273 . . . . . . . . . 10
10 recn 7717 . . . . . . . . . . . . . 14
11103ad2ant1 985 . . . . . . . . . . . . 13
12 qcn 9375 . . . . . . . . . . . . . 14
13123ad2ant2 986 . . . . . . . . . . . . 13
14 simp3 966 . . . . . . . . . . . . . 14
15 0z 9016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 zq 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 qapne 9380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 #
1917, 18mpan2 419 . . . . . . . . . . . . . . 15 #
20193ad2ant2 986 . . . . . . . . . . . . . 14 #
2114, 20mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13 #
2211, 13, 21divcanap4d 8516 . . . . . . . . . . . 12
23223expb 1165 . . . . . . . . . . 11
2423eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10
259, 24sylibd 148 . . . . . . . . 9
2625con3d 603 . . . . . . . 8
2726ex 114 . . . . . . 7
2827com23 78 . . . . . 6
2928imp31 254 . . . . 5
305, 29jca 302 . . . 4
31303impb 1160 . . 3
321, 31syl3an1b 1235 . 2
33 eldif 3048 . 2
3432, 33sylibr 133 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 945   wceq 1314   wcel 1463   wne 2283   cdif 3036   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cc 7582  cr 7583  cc0 7584   cmul 7589   # cap 8306   cdiv 8392  cz 9005  cq 9360 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-q 9361 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator