Theorem irradd 9605

Description: The sum of an irrational number and a rational number is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
irradd	⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem irradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3130	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
2		qre 9584	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		readdcl 7900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	adantlr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		qsubcl 9597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
7	6	expcom 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ))
8	7	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ))
9		recn 7907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		qcn 9593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		pncan 8125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
12	9, 10, 11	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
13	12	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
14	8, 13	sylibd 148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
15	14	con3d 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
16	15	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℚ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)))
17	16	com23 78	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐵 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)))
18	17	imp31 254	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
19	5, 18	jca 304	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
20	1, 19	sylanb 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
21		eldif 3130	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
22	20, 21	sylibr 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3118  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773   + caddc 7777   − cmin 8090  ℚcq 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579

This theorem is referenced by: (None)