Theorem irradd 9923

Description: The sum of an irrational number and a rational number is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
irradd	⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem irradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3210	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
2		qre 9902	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		readdcl 8201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		qsubcl 9915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
7	6	expcom 116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ))
8	7	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ))
9		recn 8208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		qcn 9911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		pncan 8428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
13	12	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
14	8, 13	sylibd 149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
15	14	con3d 636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
16	15	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℚ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)))
17	16	com23 78	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐵 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)))
18	17	imp31 256	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
19	5, 18	jca 306	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
20	1, 19	sylanb 284	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
21		eldif 3210	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
22	20, 21	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ∖ cdif 3198  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074   + caddc 8078   − cmin 8393  ℚcq 9896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-q 9897

This theorem is referenced by: (None)