Theorem fz1f1o 11338

Description: A lemma for working with finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1f1o	|- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )

Distinct variable group:   A, f

Proof of Theorem fz1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 10715	. . . 4 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
2		elnn0 9137	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> ( (♯ ` A ) e. NN \/ (♯ ` A ) = 0 ) )
3	1, 2	sylib 121	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN \/ (♯ ` A ) = 0 ) )
4	3	orcomd 724	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 \/ (♯ ` A ) e. NN ) )
5		fihasheq0 10728	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
6		isfinite4im 10727	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) ~~ A )
7		bren 6725	. . . . 5 |- ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) ~~ A <-> E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
8	6, 7	sylib 121	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
9	8	biantrud 302	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10	5, 9	orbi12d 788	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( (♯ ` A ) = 0 \/ (♯ ` A ) e. NN ) <-> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) ) )
11	4, 10	mpbid 146	1 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ~~ cen 6716   Fincfn 6718   0cc0 7774   1c1 7775   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ...cfz 9965  ♯chash 10709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-ihash 10710

This theorem is referenced by:  isumz  11352  fsumf1o  11353  fisumss  11355  fsumcl2lem  11361  fsumadd  11369  fsummulc2  11411  prod1dc  11549  fprodf1o  11551  fprodssdc  11553  fprodmul  11554