Theorem fz1f1o 11935

Description: A lemma for working with finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1f1o	|- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )

Distinct variable group:   A, f

Proof of Theorem fz1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 11042	. . . 4 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
2		elnn0 9403	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> ( (♯ ` A ) e. NN \/ (♯ ` A ) = 0 ) )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN \/ (♯ ` A ) = 0 ) )
4	3	orcomd 736	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 \/ (♯ ` A ) e. NN ) )
5		fihasheq0 11054	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
6		isfinite4im 11053	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) ~~ A )
7		bren 6916	. . . . 5 |- ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) ~~ A <-> E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
9	8	biantrud 304	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10	5, 9	orbi12d 800	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( (♯ ` A ) = 0 \/ (♯ ` A ) e. NN ) <-> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) ) )
11	4, 10	mpbid 147	1 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   (/)c0 3494   class class class wbr 4088   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ~~ cen 6906   Fincfn 6908   0cc0 8031   1c1 8032   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ...cfz 10242  ♯chash 11036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-ihash 11037

This theorem is referenced by:  isumz  11949  fsumf1o  11950  fisumss  11952  fsumcl2lem  11958  fsumadd  11966  fsummulc2  12008  prod1dc  12146  fprodf1o  12148  fprodssdc  12150  fprodmul  12151