Theorem isfinite4im 10034

Description: A finite set is equinumerous to the range of integers from one up to the hash value of the set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite4im	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem isfinite4im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 10022	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		hashfz1 10024	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴))
4		1z 8670	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
5	1	nn0zd 8760	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
6		fzfig 9724	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	sylancr 405	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
8		hashen 10025	. . 3 ⊢ (((1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴) ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
9	7, 8	mpancom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴) ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
10	3, 9	mpbid 145	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3811  ‘cfv 4967  (class class class)co 5589   ≈ cen 6383  Fincfn 6385  1c1 7252  ℕ₀cn0 8563  ℤcz 8644  ...cfz 9317  ♯chash 10016

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-addcom 7346  ax-addass 7348  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-1o 6111  df-er 6220  df-en 6386  df-dom 6387  df-fin 6388  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-inn 8315  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-fz 9318  df-ihash 10017

This theorem is referenced by:  fz1f1o  10570