Theorem isfinite4im 11184

Description: A finite set is equinumerous to the range of integers from one up to the hash value of the set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite4im	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem isfinite4im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 11173	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		hashfz1 11175	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴))
4		1z 9624	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
5	1	nn0zd 9720	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
6		fzfig 10820	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
8		hashen 11176	. . 3 ⊢ (((1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴) ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
9	7, 8	mpancom 422	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴) ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
10	3, 9	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4115  ‘cfv 5358  (class class class)co 6059   ≈ cen 6987  Fincfn 6989  1c1 8145  ℕ₀cn0 9517  ℤcz 9598  ...cfz 10365  ♯chash 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-1o 6661  df-er 6781  df-en 6990  df-dom 6991  df-fin 6992  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-inn 9259  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-fz 10366  df-ihash 11168

This theorem is referenced by:  sseqn  11232  fz1f1o  12090